Sr Examen
Ecuación diferencial e^(y^2)*(x^2+2*x+1)*dx+(x*y+y)*dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 2
2 y (x) d y (x) d y (x)
x *e + --(y(x))*y(x) + 2*x*e + x*--(y(x))*y(x) + e = 0
dx dx
$$x^{2} e^{y^{2}{\left(x \right)}} + x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x e^{y^{2}{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + e^{y^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
x^2*exp(y^2) + x*y*y' + 2*x*exp(y^2) + y*y' + exp(y^2) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} e^{y^{2}{\left(x \right)}} + x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x e^{y^{2}{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + e^{y^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{e^{y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{e^{y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x - 1\right)$$
o
$$dy y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y e^{- y^{2}}\, dy = \int \left(- x - 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{e^{- y^{2}}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\log{\left(\frac{1}{C_{1} + x^{2} + 2 x} \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\frac{1}{C_{1} + x^{2} + 2 x} \right)}}$$
$$x^{2} e^{y^{2}{\left(x \right)}} + x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x e^{y^{2}{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + e^{y^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{e^{y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{e^{y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x - 1\right)$$
o
$$dy y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y e^{- y^{2}}\, dy = \int \left(- x - 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{e^{- y^{2}}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\log{\left(\frac{1}{C_{1} + x^{2} + 2 x} \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\frac{1}{C_{1} + x^{2} + 2 x} \right)}}$$
Respuesta
[src]
____________________
/ / 1 \
y(x) = - / log|-------------|
/ | 2 |
\/ \C1 + x + 2*x/
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{\log{\left(\frac{1}{C_{1} + x^{2} + 2 x} \right)}}$$
____________________
/ / 1 \
y(x) = / log|-------------|
/ | 2 |
\/ \C1 + x + 2*x/
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\frac{1}{C_{1} + x^{2} + 2 x} \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 6.469341738104804)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 1.5329707450689139e-75)
(7.777777777777779, 8.388243567338932e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)