Tenemos la ecuación:
$$x^{2} e^{y^{2}{\left(x \right)}} + x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x e^{y^{2}{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + e^{y^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{e^{y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{e^{y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x - 1\right)$$
o
$$dy y{\left(x \right)} e^{- y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y e^{- y^{2}}\, dy = \int \left(- x - 1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \frac{e^{- y^{2}}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} - x$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\log{\left(\frac{1}{C_{1} + x^{2} + 2 x} \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\frac{1}{C_{1} + x^{2} + 2 x} \right)}}$$