Ecuación diferencial tg(4y)dy=(dx)/(sqrt16-4x^2)

Tenemos la ecuación:
$$\tan{\left(4 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{4 - 4 x^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} - 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{4 \tan{\left(4 y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{4 \tan{\left(4 y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$4 \tan{\left(4 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$4 dx \tan{\left(4 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x^{2} - 1}$$
o
$$4 dy \tan{\left(4 y{\left(x \right)} \right)} = - \frac{dx}{x^{2} - 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 4 \tan{\left(4 y \right)}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} - 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\cos{\left(4 y \right)} \right)} = Const - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} \right)}}{4} + \frac{\pi}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} \right)}}{4}$$