Sr Examen
Ecuación diferencial tg(x)*(sin^2)(y)dx+(cos^2)*ctg(y)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 2
cos (x)*--(y(x))*cot(y(x)) + sin (x)*tan(x)*y(x) = 0
dx
$$y{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
y*sin(x)^2*tan(x) + cos(x)^2*cot(y)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \tan^{3}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \tan^{3}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \tan^{3}{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \tan^{3}{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y \tan{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \tan^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\int \frac{1}{y \tan{\left(y \right)}}\, dy = Const - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y \tan{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
$$y{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \tan^{3}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \tan^{3}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \tan^{3}{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \tan^{3}{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y \tan{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \tan^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\int \frac{1}{y \tan{\left(y \right)}}\, dy = Const - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y \tan{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Respuesta
[src]
y(x)
/
|
| 1 1
| -------- dy = C1 - log(cos(x)) - ---------
| y*tan(y) 2
| 2*cos (x)
/
$$\int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y \tan{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.012258248733183572)
(-5.555555555555555, 1.5707963242635157)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 2.3858701223325355e+180)
(7.777777777777779, 8.388243567718496e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)