Sr Examen
Ecuación diferencial dy/x-1=dx/y-2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
--(y(x))
1 dx 1 2
- -- + -------- = ---- - --
dx x y(x) dx
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{dx} = \frac{1}{y{\left(x \right)}} - \frac{2}{dx}$$
y'/x - 1/dx = 1/y - 2/dx
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{dx} = \frac{1}{y{\left(x \right)}} - \frac{2}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}} + \frac{1}{dx}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\frac{1}{x}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x}{y{\left(x \right)}} - \frac{x}{dx}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}} + \frac{1}{dx}$$
obtendremos
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx - y{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx - y{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$- \frac{dx dy y{\left(x \right)}}{dx - y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dx y}{dx - y}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$dx \left(dx \log{\left(- dx + y \right)} + y\right) = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = dx \left(W\left(- \frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} - \frac{x^{2}}{dx}}{dx}}}}{dx e^{1}}\right) + 1\right)$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = dx \left(W\left(\frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} - \frac{x^{2}}{dx}}{dx}}}}{dx e^{1}}\right) + 1\right)$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{dx} = \frac{1}{y{\left(x \right)}} - \frac{2}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}} + \frac{1}{dx}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\frac{1}{x}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x}{y{\left(x \right)}} - \frac{x}{dx}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}} + \frac{1}{dx}$$
obtendremos
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx - y{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx - y{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$- \frac{dx dy y{\left(x \right)}}{dx - y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dx y}{dx - y}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$dx \left(dx \log{\left(- dx + y \right)} + y\right) = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = dx \left(W\left(- \frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} - \frac{x^{2}}{dx}}{dx}}}}{dx e^{1}}\right) + 1\right)$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = dx \left(W\left(\frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} - \frac{x^{2}}{dx}}{dx}}}}{dx e^{1}}\right) + 1\right)$$
Respuesta
[src]
/ / __________ \\
| | / 2 ||
| | / x ||
| | / C1 - -- ||
| | / dx ||
| | / ------- ||
| | / dx -1 ||
| |-\/ e *e ||
y(x) = dx*|1 + W|------------------------||
\ \ dx //
$$y{\left(x \right)} = dx \left(W\left(- \frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} - \frac{x^{2}}{dx}}{dx}}}}{e dx}\right) + 1\right)$$
/ / __________ \\
| | / 2 ||
| | / x ||
| | / C1 - -- ||
| | / dx ||
| | / ------- ||
| | / dx -1||
| |\/ e *e ||
y(x) = dx*|1 + W|----------------------||
\ \ dx //
$$y{\left(x \right)} = dx \left(W\left(\frac{\sqrt{e^{\frac{C_{1} - \frac{x^{2}}{dx}}{dx}}}}{e dx}\right) + 1\right)$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral