Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(2y)dx-(x+1)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d ___ ______ d - --(y(x)) + \/ 2 *\/ y(x) - x*--(y(x)) = 0 dx dx
$$- x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sqrt{y{\left(x \right)}} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-x*y' + sqrt(2)*sqrt(y) - y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sqrt{y{\left(x \right)}} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \sqrt{2} \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sqrt{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{\sqrt{2} dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{x + 1}$$
o
$$- \frac{\sqrt{2} dy}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{y}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{2} \sqrt{y} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} C_{1} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2}$$
$$- x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sqrt{y{\left(x \right)}} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \sqrt{2} \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sqrt{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{\sqrt{2} dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{x + 1}$$
o
$$- \frac{\sqrt{2} dy}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{y}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{2} \sqrt{y} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} C_{1} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2}$$
Respuesta
[src]
2 2 ___
log (1 + x) C1 C1*\/ 2 *log(1 + x)
y(x) = ----------- + --- + -------------------
2 4 2
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} C_{1} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.44290013531597827)
(-5.555555555555555, 0.14789618964518464)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)