Sr Examen
Ecuación diferencial dx*x+dy*e^(-x)*y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d -x
x + --(y(x))*e *y(x) = 0
dx
$$x + y{\left(x \right)} e^{- x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x + y*exp(-x)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x + y{\left(x \right)} e^{- x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x e^{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x e^{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x e^{x}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = - dx x e^{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(- x e^{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \left(1 - x\right) e^{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x e^{x} + e^{x}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x e^{x} + e^{x}}$$
$$x + y{\left(x \right)} e^{- x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x e^{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x e^{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x e^{x}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = - dx x e^{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(- x e^{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \left(1 - x\right) e^{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x e^{x} + e^{x}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x e^{x} + e^{x}}$$
Respuesta
[src]
________________
___ / x x
y(x) = -\/ 2 *\/ C1 - x*e + e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x e^{x} + e^{x}}$$
________________
___ / x x
y(x) = \/ 2 *\/ C1 - x*e + e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - x e^{x} + e^{x}}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral