Sr Examen
Ecuación diferencial cos(x)*cos(y)dx-sin(x)*sin(y)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
cos(x)*cos(y(x)) - --(y(x))*sin(x)*sin(y(x)) = 0
dx
$$- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
-sin(x)*sin(y)*y' + cos(x)*cos(y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\tan{\left(x \right)}}$$
o
$$- dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - \frac{dx}{\tan{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \tan{\left(y \right)}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(\cos{\left(y \right)} \right)} = Const - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
$$- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\tan{\left(x \right)}}$$
o
$$- dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - \frac{dx}{\tan{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \tan{\left(y \right)}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(\cos{\left(y \right)} \right)} = Const - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ C1 \
y(x) = - acos|------| + 2*pi
\sin(x)/
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} + 2 \pi$$
/ C1 \
y(x) = acos|------|
\sin(x)/
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral