Sr Examen
Ecuación diferencial xydx+(x1)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
x*y(x) + x1*--(y(x)) = 0
dx
$$x y{\left(x \right)} + x_{1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y + x1*y' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$x_{1}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{x y{\left(x \right)} + x_{1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{1}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{x_{1}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{x_{1}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{x}{x_{1}}\, dx = \frac{x^{2}}{2 x_{1}} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} - \frac{x^{2}}{2 x_{1}}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} - \frac{x^{2}}{2 x_{1}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2 x_{1}}}$$
$$x_{1}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{x y{\left(x \right)} + x_{1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{1}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{x_{1}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{x_{1}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{x}{x_{1}}\, dx = \frac{x^{2}}{2 x_{1}} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} - \frac{x^{2}}{2 x_{1}}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} - \frac{x^{2}}{2 x_{1}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2 x_{1}}}$$
Respuesta
[src]
2
x
C1 - --
2
-------
x1
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} - \frac{x^{2}}{2}}{x_{1}}}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral