Sr Examen
Ecuación diferencial xdy-y+sqrt(y)dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
______ d y(x)
\/ y(x) + x*--(y(x)) - ---- = 0
dx dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y{\left(x \right)}} - \frac{y{\left(x \right)}}{dx} = 0$$
x*y' + sqrt(y) - y/dx = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y{\left(x \right)}} - \frac{y{\left(x \right)}}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{dx x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - dx \sqrt{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- dx \sqrt{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = \frac{1}{dx x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x}$$
o
$$- \frac{dy}{dx \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{dx \sqrt{y} - y}\right)\, dy = \int \frac{1}{dx x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \log{\left(- dx + \sqrt{y} \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = dx^{2} + 2 dx e^{\frac{C_{1}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2 dx}} + e^{C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx}}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y{\left(x \right)}} - \frac{y{\left(x \right)}}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{dx x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - dx \sqrt{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- dx \sqrt{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = \frac{1}{dx x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x}$$
o
$$- \frac{dy}{dx \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{dx \sqrt{y} - y}\right)\, dy = \int \frac{1}{dx x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \log{\left(- dx + \sqrt{y} \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = dx^{2} + 2 dx e^{\frac{C_{1}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2 dx}} + e^{C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx}}$$
Respuesta
[src]
C1 log(x) log(x)
-- + ------ C1 + ------
2 2 2*dx dx
y(x) = dx + 2*dx*e + e
$$y{\left(x \right)} = dx^{2} + 2 dx e^{\frac{C_{1}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2 dx}} + e^{C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}}{dx}}$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral