Sr Examen
Ecuación diferencial yx^(y-1)*dx+x^y*ln(x)*dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
y(x)
x *y(x) y(x) d
---------- + x *--(y(x))*log(x) = 0
x dx
$$x^{y{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{x^{y{\left(x \right)}} y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
x^y*log(x)*y' + x^y*y/x = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{y{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{x^{y{\left(x \right)}} y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{\log{\left(x \right)}}$$
$$x^{y{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{x^{y{\left(x \right)}} y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{\log{\left(x \right)}}$$
Respuesta
[src]
C1
y(x) = ------
log(x)
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{\log{\left(x \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
1st exact
1st linear
Bernoulli
lie group
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)