Tenemos la ecuación:
y'' = $$x \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Es una ecuación diferencial de la forma:
y'' = f(x)
Se resuelve multiplicando las dos partes de la ecuación por dx:
y''dx = f(x)dx, o
d(y') = f(x)dx
Y tomando integrales de las dos partes de la ecuación:
∫ d(y') = ∫ f(x) dx
o
y' = ∫ f(x) dx
En nuestro caso,
f(x) = $$x \sin^{2}{\left(x \right)}$$
y' = $$\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$$ + C1
donde C1 es la constante que no depende de x.
Repitamos una vez más:
∫ dy =
Es decir, la solución será
y = $$\int \left(C_{1} + \frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integralo
y = $$C_{1} x + \frac{x^{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{12} + \frac{x^{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{12} - \frac{x \sin^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{x \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} - \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4}$$ + C2
donde C2 es la constante que no depende de x