sqrt(5x+4)+sqrt(2x-1)=sqrt(3x+1) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 x + 4} = \sqrt{3 x + 1}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 x + 4}\right)^{2} = 3 x + 1$$
o
$$1^{2} \left(5 x + 4\right) + \left(2 \sqrt{\left(2 x - 1\right) \left(5 x + 4\right)} + 1^{2} \left(2 x - 1\right)\right) = 3 x + 1$$
o
$$7 x + 2 \sqrt{10 x^{2} + 3 x - 4} + 3 = 3 x + 1$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{10 x^{2} + 3 x - 4} = - 4 x - 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$40 x^{2} + 12 x - 16 = \left(- 4 x - 2\right)^{2}$$
$$40 x^{2} + 12 x - 16 = 16 x^{2} + 16 x + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$24 x^{2} - 4 x - 20 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 24$$
$$b = -4$$
$$c = -20$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (24) * (-20) = 1936

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{5}{6}$$

Como
$$\sqrt{10 x^{2} + 3 x - 4} = - 2 x - 1$$
y
$$\sqrt{10 x^{2} + 3 x - 4} \geq 0$$
entonces
$$- 2 x - 1 \geq 0$$
o
$$x \leq - \frac{1}{2}$$
$$-\infty < x$$
$$x_{2} = - \frac{5}{6}$$
comprobamos:
$$x_{1} = - \frac{5}{6}$$
$$\sqrt{2 x_{1} - 1} - \sqrt{3 x_{1} + 1} + \sqrt{5 x_{1} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{\frac{\left(-5\right) 3}{6} + 1} + \left(\sqrt{\frac{\left(-5\right) 5}{6} + 4} + \sqrt{\frac{\left(-5\right) 2}{6} - 1}\right) = 0$$
=

i*sqrt(6)/3 = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
Esta ecuación no tiene soluciones