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Trazado el gráfico de la función/ cos^(2)(1/x)+sin^(2)(1/x)

Gráfico de la función y = cos^(2)(1/x)+sin^(2)(1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2/1\      2/1\
f(x) = cos |-| + sin |-|
           \x/       \x/
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$ 
f = sin(1/x)^2 + cos(1/x)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2.
$$\sin^{2}{\left(\frac{1}{0} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{0} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$0 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$0 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} = \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
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