Sr Examen

Gráfico de la función y = tan(x)/sin(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        tan(x) 
f(x) = --------
       sin(3*x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$$
f = tan(x)/sin(3*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.0471975511966$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x)/sin(3*x).
$$\frac{\tan{\left(0 \right)}}{\sin{\left(0 \cdot 3 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(3 x \right)}} - \frac{3 \cos{\left(3 x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-5 - \sqrt{11} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{2} = \frac{i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-5 + \sqrt{11} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                        /  /     /         ____\         \\  
                                        |I*\- log\-5 - I*\/ 11 / + log(6)/|  
   /     /         ____\         \   tan|---------------------------------|  
 I*\- log\-5 - I*\/ 11 / + log(6)/      \                2                /  
(---------------------------------, ----------------------------------------)
                 2                     /    /     /         ____\         \\ 
                                       |3*I*\- log\-5 - I*\/ 11 / + log(6)/| 
                                    sin|-----------------------------------| 
                                       \                 2                 / 

                                        /  /     /         ____\         \\  
                                        |I*\- log\-5 + I*\/ 11 / + log(6)/|  
   /     /         ____\         \   tan|---------------------------------|  
 I*\- log\-5 + I*\/ 11 / + log(6)/      \                2                /  
(---------------------------------, ----------------------------------------)
                 2                     /    /     /         ____\         \\ 
                                       |3*I*\- log\-5 + I*\/ 11 / + log(6)/| 
                                    sin|-----------------------------------| 
                                       \                 2                 / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.0471975511966$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x)/sin(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$$
- No
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = - \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar