Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(3 x \right)}} - \frac{3 \cos{\left(3 x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-5 - \sqrt{11} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{2} = \frac{i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-5 + \sqrt{11} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / / ____\ \\
|I*\- log\-5 - I*\/ 11 / + log(6)/|
/ / ____\ \ tan|---------------------------------|
I*\- log\-5 - I*\/ 11 / + log(6)/ \ 2 /
(---------------------------------, ----------------------------------------)
2 / / / ____\ \\
|3*I*\- log\-5 - I*\/ 11 / + log(6)/|
sin|-----------------------------------|
\ 2 /
/ / / ____\ \\
|I*\- log\-5 + I*\/ 11 / + log(6)/|
/ / ____\ \ tan|---------------------------------|
I*\- log\-5 + I*\/ 11 / + log(6)/ \ 2 /
(---------------------------------, ----------------------------------------)
2 / / / ____\ \\
|3*I*\- log\-5 + I*\/ 11 / + log(6)/|
sin|-----------------------------------|
\ 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$