Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x/exp)-(1/log(x))

Gráfico de la función y = (x/exp)-(1/log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x      1   
f(x) = -- - ------
        x   log(x)
       e
f(x)=xex−1log⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} 
f = x/exp(x) - 1/log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex−1log⁡(x)=0\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/exp(x) - 1/log(x).
0e0−1log⁡(0)\frac{0}{e^{0}} - \frac{1}{\log{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xe−x+1ex+1xlog⁡(x)2=0- x e^{- x} + \frac{1}{e^{x}} + \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xe−x−2e−x−1x2log⁡(x)2−2x2log⁡(x)3=0x e^{- x} - 2 e^{- x} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=96337.2699685649x_{1} = 96337.2699685649
x2=171518.996126846x_{2} = 171518.996126846
x3=203451.334594106x_{3} = 203451.334594106
x4=189709.551623869x_{4} = 189709.551623869
x5=180594.646831991x_{5} = 180594.646831991
x6=135655.081131858x_{6} = 135655.081131858
x7=118026.659073151x_{7} = 118026.659073151
x8=194281.114117316x_{8} = 194281.114117316
x9=109301.131390774x_{9} = 109301.131390774
x10=176051.78674985x_{10} = 176051.78674985
x11=126812.726236405x_{11} = 126812.726236405
x12=104962.570348548x_{12} = 104962.570348548
x13=185147.317387735x_{13} = 185147.317387735
x14=166996.547043092x_{14} = 166996.547043092
x15=92052.0669548957x_{15} = 92052.0669548957
x16=100641.037473986x_{16} = 100641.037473986
x17=153494.18780763x_{17} = 153494.18780763
x18=122412.404500837x_{18} = 122412.404500837
x19=198861.780064415x_{19} = 198861.780064415
x20=144549.998173307x_{20} = 144549.998173307
x21=87786.2973905852x_{21} = 87786.2973905852
x22=140096.184290192x_{22} = 140096.184290192
x23=113656.038545734x_{23} = 113656.038545734
x24=162484.725665548x_{24} = 162484.725665548
x25=149016.124526383x_{25} = 149016.124526383
x26=157983.833341669x_{26} = 157983.833341669
x27=131227.111734044x_{27} = 131227.111734044
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(xe−x−2e−x−1x2log⁡(x)2−2x2log⁡(x)3)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(x e^{- x} - 2 e^{- x} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(xe−x−2e−x−1x2log⁡(x)2−2x2log⁡(x)3)=−∞\lim_{x \to 1^+}\left(x e^{- x} - 2 e^{- x} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xex−1log⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xex−1log⁡(x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/exp(x) - 1/log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xex−1log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xex−1log⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex−1log⁡(x)=−xex−1log⁡(−x)\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = - x e^{x} - \frac{1}{\log{\left(- x \right)}}
- No
xex−1log⁡(x)=xex+1log⁡(−x)\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = x e^{x} + \frac{1}{\log{\left(- x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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