Sr Examen

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Gráfico de la función y = abs(2x^2+8abs(x)+6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       |   2            |
f(x) = |2*x  + 8*|x| + 6|
$$f{\left(x \right)} = \left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right|$$
f = Abs(2*x^2 + 8*|x| + 6)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(2*x^2 + 8*|x| + 6).
$$\left|{\left(2 \cdot 0^{2} + 8 \left|{0}\right|\right) + 6}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 6$$
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x + 8 \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(4 \delta\left(x\right) + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(2*x^2 + 8*|x| + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right| = \left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right|$$
- Sí
$$\left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right| = - \left|{\left(2 x^{2} + 8 \left|{x}\right|\right) + 6}\right|$$
- No
es decir, función
es
par