Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (sqrt(x)-1)/(lnx)

Gráfico de la función y = (sqrt(x)-1)/(lnx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___    
       \/ x  - 1
f(x) = ---------
         log(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}}$$ 
f = (sqrt(x) - 1)/log(x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt(x) - 1)/log(x).
$$\frac{-1 + \sqrt{0}}{\log{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sqrt{x} - 1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\sqrt{x} - 1\right)}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt(x) - 1)/log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}} = \frac{\sqrt{- x} - 1}{\log{\left(- x \right)}}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}} = - \frac{\sqrt{- x} - 1}{\log{\left(- x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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