Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
-x^4+5x^2-4
-
x^3/
-
Expresiones idénticas
- (uno -cos(dos *x))/(dos *sin(x)+ uno)
- (1 menos coseno de (2 multiplicar por x)) dividir por (2 multiplicar por seno de (x) más 1)
- (uno menos coseno de (dos multiplicar por x)) dividir por (dos multiplicar por seno de (x) más uno)
- (1-cos(2x))/(2sin(x)+1)
- 1-cos2x/2sinx+1
- (1-cos(2*x)) dividir por (2*sin(x)+1)
-
Expresiones semejantes
- (1-cos(2*x))/(2*sin(x)-1)
- (1+cos(2*x))/(2*sin(x)+1)
- (1-cos(2*x))/(2*sinx+1)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
- cos(1/2*x)
- cos(2*x)+exp(3*x)+sin(2*x)
- Seno sin
- sin(x)+x^2-1
- sin(x/2+pi/2)+4
- sin^2√x-3+cos^2√x-3
- sin(x^2-x)
- sin*3,14x/4
Gráfico de la función y = (1-cos(2*x))/(2*sin(x)+1)
Solución
Ha introducido
[src]
1 - cos(2*x)
f(x) = ------------
2*sin(x) + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}$$
f = (1 - cos(2*x))/(2*sin(x) + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.523598775598299$$
$$x_{2} = 3.66519142918809$$
$$x_{1} = -0.523598775598299$$
$$x_{2} = 3.66519142918809$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -81.681409048942$$
$$x_{2} = 78.5398162515449$$
$$x_{3} = 84.8230015570708$$
$$x_{4} = -21.9911481039959$$
$$x_{5} = -56.5486676709184$$
$$x_{6} = 3.1415931678281$$
$$x_{7} = 50.2654824457813$$
$$x_{8} = 65.9734455024251$$
$$x_{9} = -37.6991117291719$$
$$x_{10} = 50.26548269365$$
$$x_{11} = -100.530964819366$$
$$x_{12} = -21.9911485859165$$
$$x_{13} = 53.4070747070521$$
$$x_{14} = 0$$
$$x_{15} = 94.2477797128535$$
$$x_{16} = 97.3893718507143$$
$$x_{17} = -43.9822971774744$$
$$x_{18} = -25.1327408291929$$
$$x_{19} = 75.3982237719298$$
$$x_{20} = -3.14159273763214$$
$$x_{21} = -28.2743342033328$$
$$x_{22} = 40.8407044094494$$
$$x_{23} = 81.6814090896585$$
$$x_{24} = 21.9911485856619$$
$$x_{25} = -28.274333181316$$
$$x_{26} = 6.28318528168759$$
$$x_{27} = -12.5663705228515$$
$$x_{28} = -53.4070752043642$$
$$x_{29} = 65.9734457566856$$
$$x_{30} = -31.4159273163438$$
$$x_{31} = 31.415926624785$$
$$x_{32} = 34.557519099345$$
$$x_{33} = 21.9911483466045$$
$$x_{34} = -91.1061870298175$$
$$x_{35} = 100.530965257303$$
$$x_{36} = -59.6902604518029$$
$$x_{37} = 47.123889395252$$
$$x_{38} = -34.5575195705446$$
$$x_{39} = 43.9822971679369$$
$$x_{40} = -81.6814093507704$$
$$x_{41} = 94.2477796093405$$
$$x_{42} = 69.1150379569454$$
$$x_{43} = 87.9645943310174$$
$$x_{44} = -6.2831852138217$$
$$x_{45} = -50.2654823659009$$
$$x_{46} = 9.42477756631173$$
$$x_{47} = -15.7079632933379$$
$$x_{48} = 100.53096445561$$
$$x_{49} = 37.6991119380287$$
$$x_{50} = 97.3893722840591$$
$$x_{51} = -72.2566304522174$$
$$x_{52} = 28.2743338663949$$
$$x_{53} = 91.1061871595856$$
$$x_{54} = 25.1327409602613$$
$$x_{55} = -53.4070751143485$$
$$x_{56} = 47.1238901224492$$
$$x_{57} = 72.2566310278197$$
$$x_{58} = 62.8318534772876$$
$$x_{59} = -78.5398167021737$$
$$x_{60} = 56.5486672228695$$
$$x_{61} = 18.8495563267735$$
$$x_{62} = 6.28318551588125$$
$$x_{63} = -97.3893723558803$$
$$x_{64} = -87.9645943786287$$
$$x_{65} = -18.8495560958193$$
$$x_{66} = -47.1238898968649$$
$$x_{67} = -47.1238898840898$$
$$x_{68} = -69.1150379942896$$
$$x_{69} = 12.5663699687647$$
$$x_{70} = 91.1061871115338$$
$$x_{71} = -94.2477795182202$$
$$x_{72} = -62.831853183022$$
$$x_{73} = 18.8495564737097$$
$$x_{74} = -65.9734457591655$$
$$x_{75} = -37.6991118831511$$
$$x_{76} = -9.42477805262322$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -81.681409048942$$
$$x_{2} = 78.5398162515449$$
$$x_{3} = 84.8230015570708$$
$$x_{4} = -21.9911481039959$$
$$x_{5} = -56.5486676709184$$
$$x_{6} = 3.1415931678281$$
$$x_{7} = 50.2654824457813$$
$$x_{8} = 65.9734455024251$$
$$x_{9} = -37.6991117291719$$
$$x_{10} = 50.26548269365$$
$$x_{11} = -100.530964819366$$
$$x_{12} = -21.9911485859165$$
$$x_{13} = 53.4070747070521$$
$$x_{14} = 0$$
$$x_{15} = 94.2477797128535$$
$$x_{16} = 97.3893718507143$$
$$x_{17} = -43.9822971774744$$
$$x_{18} = -25.1327408291929$$
$$x_{19} = 75.3982237719298$$
$$x_{20} = -3.14159273763214$$
$$x_{21} = -28.2743342033328$$
$$x_{22} = 40.8407044094494$$
$$x_{23} = 81.6814090896585$$
$$x_{24} = 21.9911485856619$$
$$x_{25} = -28.274333181316$$
$$x_{26} = 6.28318528168759$$
$$x_{27} = -12.5663705228515$$
$$x_{28} = -53.4070752043642$$
$$x_{29} = 65.9734457566856$$
$$x_{30} = -31.4159273163438$$
$$x_{31} = 31.415926624785$$
$$x_{32} = 34.557519099345$$
$$x_{33} = 21.9911483466045$$
$$x_{34} = -91.1061870298175$$
$$x_{35} = 100.530965257303$$
$$x_{36} = -59.6902604518029$$
$$x_{37} = 47.123889395252$$
$$x_{38} = -34.5575195705446$$
$$x_{39} = 43.9822971679369$$
$$x_{40} = -81.6814093507704$$
$$x_{41} = 94.2477796093405$$
$$x_{42} = 69.1150379569454$$
$$x_{43} = 87.9645943310174$$
$$x_{44} = -6.2831852138217$$
$$x_{45} = -50.2654823659009$$
$$x_{46} = 9.42477756631173$$
$$x_{47} = -15.7079632933379$$
$$x_{48} = 100.53096445561$$
$$x_{49} = 37.6991119380287$$
$$x_{50} = 97.3893722840591$$
$$x_{51} = -72.2566304522174$$
$$x_{52} = 28.2743338663949$$
$$x_{53} = 91.1061871595856$$
$$x_{54} = 25.1327409602613$$
$$x_{55} = -53.4070751143485$$
$$x_{56} = 47.1238901224492$$
$$x_{57} = 72.2566310278197$$
$$x_{58} = 62.8318534772876$$
$$x_{59} = -78.5398167021737$$
$$x_{60} = 56.5486672228695$$
$$x_{61} = 18.8495563267735$$
$$x_{62} = 6.28318551588125$$
$$x_{63} = -97.3893723558803$$
$$x_{64} = -87.9645943786287$$
$$x_{65} = -18.8495560958193$$
$$x_{66} = -47.1238898968649$$
$$x_{67} = -47.1238898840898$$
$$x_{68} = -69.1150379942896$$
$$x_{69} = 12.5663699687647$$
$$x_{70} = 91.1061871115338$$
$$x_{71} = -94.2477795182202$$
$$x_{72} = -62.831853183022$$
$$x_{73} = 18.8495564737097$$
$$x_{74} = -65.9734457591655$$
$$x_{75} = -37.6991118831511$$
$$x_{76} = -9.42477805262322$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.523598775598299$$
$$x_{2} = 3.66519142918809$$
$$\lim_{x \to -0.523598775598299^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.523598775598299^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.523598775598299$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3.66519142918809^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -2.74031556999544 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 3.66519142918809^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -2.74031556999544 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.523598775598299$$
$$x_{2} = 3.66519142918809$$
$$\lim_{x \to -0.523598775598299^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.523598775598299^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.523598775598299$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3.66519142918809^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -2.74031556999544 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 3.66519142918809^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -2.74031556999544 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.523598775598299$$
$$x_{2} = 3.66519142918809$$
$$x_{1} = -0.523598775598299$$
$$x_{2} = 3.66519142918809$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(2*x))/(2*sin(x) + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar