Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (1-cos(2*x))/(2*sin(x)+1)

Gráfico de la función y = (1-cos(2*x))/(2*sin(x)+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1 - cos(2*x)
f(x) = ------------
       2*sin(x) + 1
f(x)=1−cos⁡(2x)2sin⁡(x)+1f{\left(x \right)} = \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} 
f = (1 - cos(2*x))/(2*sin(x) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.523598775598299x_{1} = -0.523598775598299
x2=3.66519142918809x_{2} = 3.66519142918809
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−cos⁡(2x)2sin⁡(x)+1=0\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−81.681409048942x_{1} = -81.681409048942
x2=78.5398162515449x_{2} = 78.5398162515449
x3=84.8230015570708x_{3} = 84.8230015570708
x4=−21.9911481039959x_{4} = -21.9911481039959
x5=−56.5486676709184x_{5} = -56.5486676709184
x6=3.1415931678281x_{6} = 3.1415931678281
x7=50.2654824457813x_{7} = 50.2654824457813
x8=65.9734455024251x_{8} = 65.9734455024251
x9=−37.6991117291719x_{9} = -37.6991117291719
x10=50.26548269365x_{10} = 50.26548269365
x11=−100.530964819366x_{11} = -100.530964819366
x12=−21.9911485859165x_{12} = -21.9911485859165
x13=53.4070747070521x_{13} = 53.4070747070521
x14=0x_{14} = 0
x15=94.2477797128535x_{15} = 94.2477797128535
x16=97.3893718507143x_{16} = 97.3893718507143
x17=−43.9822971774744x_{17} = -43.9822971774744
x18=−25.1327408291929x_{18} = -25.1327408291929
x19=75.3982237719298x_{19} = 75.3982237719298
x20=−3.14159273763214x_{20} = -3.14159273763214
x21=−28.2743342033328x_{21} = -28.2743342033328
x22=40.8407044094494x_{22} = 40.8407044094494
x23=81.6814090896585x_{23} = 81.6814090896585
x24=21.9911485856619x_{24} = 21.9911485856619
x25=−28.274333181316x_{25} = -28.274333181316
x26=6.28318528168759x_{26} = 6.28318528168759
x27=−12.5663705228515x_{27} = -12.5663705228515
x28=−53.4070752043642x_{28} = -53.4070752043642
x29=65.9734457566856x_{29} = 65.9734457566856
x30=−31.4159273163438x_{30} = -31.4159273163438
x31=31.415926624785x_{31} = 31.415926624785
x32=34.557519099345x_{32} = 34.557519099345
x33=21.9911483466045x_{33} = 21.9911483466045
x34=−91.1061870298175x_{34} = -91.1061870298175
x35=100.530965257303x_{35} = 100.530965257303
x36=−59.6902604518029x_{36} = -59.6902604518029
x37=47.123889395252x_{37} = 47.123889395252
x38=−34.5575195705446x_{38} = -34.5575195705446
x39=43.9822971679369x_{39} = 43.9822971679369
x40=−81.6814093507704x_{40} = -81.6814093507704
x41=94.2477796093405x_{41} = 94.2477796093405
x42=69.1150379569454x_{42} = 69.1150379569454
x43=87.9645943310174x_{43} = 87.9645943310174
x44=−6.2831852138217x_{44} = -6.2831852138217
x45=−50.2654823659009x_{45} = -50.2654823659009
x46=9.42477756631173x_{46} = 9.42477756631173
x47=−15.7079632933379x_{47} = -15.7079632933379
x48=100.53096445561x_{48} = 100.53096445561
x49=37.6991119380287x_{49} = 37.6991119380287
x50=97.3893722840591x_{50} = 97.3893722840591
x51=−72.2566304522174x_{51} = -72.2566304522174
x52=28.2743338663949x_{52} = 28.2743338663949
x53=91.1061871595856x_{53} = 91.1061871595856
x54=25.1327409602613x_{54} = 25.1327409602613
x55=−53.4070751143485x_{55} = -53.4070751143485
x56=47.1238901224492x_{56} = 47.1238901224492
x57=72.2566310278197x_{57} = 72.2566310278197
x58=62.8318534772876x_{58} = 62.8318534772876
x59=−78.5398167021737x_{59} = -78.5398167021737
x60=56.5486672228695x_{60} = 56.5486672228695
x61=18.8495563267735x_{61} = 18.8495563267735
x62=6.28318551588125x_{62} = 6.28318551588125
x63=−97.3893723558803x_{63} = -97.3893723558803
x64=−87.9645943786287x_{64} = -87.9645943786287
x65=−18.8495560958193x_{65} = -18.8495560958193
x66=−47.1238898968649x_{66} = -47.1238898968649
x67=−47.1238898840898x_{67} = -47.1238898840898
x68=−69.1150379942896x_{68} = -69.1150379942896
x69=12.5663699687647x_{69} = 12.5663699687647
x70=91.1061871115338x_{70} = 91.1061871115338
x71=−94.2477795182202x_{71} = -94.2477795182202
x72=−62.831853183022x_{72} = -62.831853183022
x73=18.8495564737097x_{73} = 18.8495564737097
x74=−65.9734457591655x_{74} = -65.9734457591655
x75=−37.6991118831511x_{75} = -37.6991118831511
x76=−9.42477805262322x_{76} = -9.42477805262322
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - cos(2*x))/(2*sin(x) + 1).
1−cos⁡(0⋅2)2sin⁡(0)+1\frac{1 - \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}{2 \sin{\left(0 \right)} + 1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2(1−cos⁡(2x))cos⁡(x)(2sin⁡(x)+1)2+2sin⁡(2x)2sin⁡(x)+1=0- \frac{2 \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)+1)(cos⁡(2x)−1)2sin⁡(x)+1+2cos⁡(2x)−4sin⁡(2x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1)2sin⁡(x)+1=0\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−0.523598775598299x_{1} = -0.523598775598299
x2=3.66519142918809x_{2} = 3.66519142918809

lim⁡x→−0.523598775598299−(2(−(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)+1)(cos⁡(2x)−1)2sin⁡(x)+1+2cos⁡(2x)−4sin⁡(2x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1)2sin⁡(x)+1)=−∞\lim_{x \to -0.523598775598299^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -\infty
lim⁡x→−0.523598775598299+(2(−(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)+1)(cos⁡(2x)−1)2sin⁡(x)+1+2cos⁡(2x)−4sin⁡(2x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1)2sin⁡(x)+1)=∞\lim_{x \to -0.523598775598299^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−0.523598775598299x_{1} = -0.523598775598299
- es el punto de flexión
lim⁡x→3.66519142918809−(2(−(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)+1)(cos⁡(2x)−1)2sin⁡(x)+1+2cos⁡(2x)−4sin⁡(2x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1)2sin⁡(x)+1)=−2.74031556999544⋅1047\lim_{x \to 3.66519142918809^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -2.74031556999544 \cdot 10^{47}
lim⁡x→3.66519142918809+(2(−(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)+1)(cos⁡(2x)−1)2sin⁡(x)+1+2cos⁡(2x)−4sin⁡(2x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1)2sin⁡(x)+1)=−2.74031556999544⋅1047\lim_{x \to 3.66519142918809^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = -2.74031556999544 \cdot 10^{47}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.523598775598299x_{1} = -0.523598775598299
x2=3.66519142918809x_{2} = 3.66519142918809
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(2x)2sin⁡(x)+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(1−cos⁡(2x)2sin⁡(x)+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(2*x))/(2*sin(x) + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(2x)x(2sin⁡(x)+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−cos⁡(2x)x(2sin⁡(x)+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−cos⁡(2x)2sin⁡(x)+1=1−cos⁡(2x)1−2sin⁡(x)\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}
- No
1−cos⁡(2x)2sin⁡(x)+1=−1−cos⁡(2x)1−2sin⁡(x)\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор