Sr Examen

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2*log(sin(x))
Trazado el gráfico de la función/ 2*log(sin(x))

Gráfico de la función y = 2*log(sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*log(sin(x))
f(x)=2log⁡(sin⁡(x))f{\left(x \right)} = 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} 
f = 2*log(sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2log⁡(sin⁡(x))=02 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=7.85398174556756x_{1} = 7.85398174556756
x2=−54.9778706878326x_{2} = -54.9778706878326
x3=83.2522055855063x_{3} = 83.2522055855063
x4=−29.8451300946193x_{4} = -29.8451300946193
x5=39.2699074396221x_{5} = 39.2699074396221
x6=32.9867236651869x_{6} = 32.9867236651869
x7=−10.9955747464857x_{7} = -10.9955747464857
x8=1.57079660167231x_{8} = 1.57079660167231
x9=−17.2787598626449x_{9} = -17.2787598626449
x10=−36.1283154154305x_{10} = -36.1283154154305
x11=64.402649305744x_{11} = 64.402649305744
x12=95.8185760669056x_{12} = 95.8185760669056
x13=89.5353909237568x_{13} = 89.5353909237568
x14=−54.9778713174705x_{14} = -54.9778713174705
x15=58.119464370396x_{15} = 58.119464370396
x16=−4.71238851018714x_{16} = -4.71238851018714
x17=−4.71238973521995x_{17} = -4.71238973521995
x18=−4.71238974981597x_{18} = -4.71238974981597
x19=14.1371671149845x_{19} = 14.1371671149845
x20=45.5530937626454x_{20} = 45.5530937626454
x21=39.2699086546913x_{21} = 39.2699086546913
x22=76.9690195814988x_{22} = 76.9690195814988
x23=−10.9955741211687x_{23} = -10.9955741211687
x24=70.6858344584179x_{24} = 70.6858344584179
x25=32.9867224176774x_{25} = 32.9867224176774
x26=20.4203521458531x_{26} = 20.4203521458531
x27=76.9690208439152x_{27} = 76.9690208439152
x28=−86.3937977199047x_{28} = -86.3937977199047
x29=−92.6769828388254x_{29} = -92.6769828388254
x30=−61.2610570233699x_{30} = -61.2610570233699
x31=−48.6946856746846x_{31} = -48.6946856746846
x32=−54.9778719110131x_{32} = -54.9778719110131
x33=−48.694686949957x_{33} = -48.694686949957
x34=−92.676984146129x_{34} = -92.676984146129
x35=83.2522046592344x_{35} = 83.2522046592344
x36=−48.6946869113465x_{36} = -48.6946869113465
x37=39.2699074534854x_{37} = 39.2699074534854
x38=32.9867230918614x_{38} = 32.9867230918614
x39=−10.9955735120111x_{39} = -10.9955735120111
x40=−98.9601690759292x_{40} = -98.9601690759292
x41=−73.827427279653x_{41} = -73.827427279653
x42=−92.6769840888992x_{42} = -92.6769840888992
x43=−54.9778705207315x_{43} = -54.9778705207315
x44=−98.9601685005998x_{44} = -98.9601685005998
x45=−98.9601678624104x_{45} = -98.9601678624104
x46=−80.1106125767506x_{46} = -80.1106125767506
x47=26.7035372979479x_{47} = 26.7035372979479
x48=83.2522046133019x_{48} = 83.2522046133019
x49=−67.5442421737401x_{49} = -67.5442421737401
x50=−42.4115005591739x_{50} = -42.4115005591739
x51=−23.5619450139675x_{51} = -23.5619450139675
x52=51.8362789063255x_{52} = 51.8362789063255
x53=83.2522058199769x_{53} = 83.2522058199769
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*log(sin(x)).
2log⁡(sin⁡(0))2 \log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi         
(----, 2*pi*I)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x))=0- 2 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(sin⁡(x)))=2log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) = 2 \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2log⁡(⟨−1,1⟩)y = 2 \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞(2log⁡(sin⁡(x)))=2log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) = 2 \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2log⁡(⟨−1,1⟩)y = 2 \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*log(sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2log⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2log⁡(sin⁡(x))=2log⁡(−sin⁡(x))2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 2 \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
2log⁡(sin⁡(x))=−2log⁡(−sin⁡(x))2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - 2 \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*log(sin(x))
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