Sr Examen

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-cos(x)^2/(2*sin(x))
Trazado el gráfico de la función/ -cos(x)^2/(2*sin(x))

Gráfico de la función y = -cos(x)^2/(2*sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2    
       -cos (x) 
f(x) = ---------
        2*sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$$ 
f = (-cos(x)^2)/((2*sin(x)))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-cos(x)^2)/((2*sin(x))).
$$\frac{\left(-1\right) \cos^{2}{\left(0 \right)}}{2 \sin{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \frac{1}{2 \sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-cos(x)^2)/((2*sin(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\frac{1}{2 \sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\frac{1}{2 \sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -cos(x)^2/(2*sin(x))
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