Sr Examen

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Gráfico de la función y = (-1+cot(x))/sin(4*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       -1 + cot(x)
f(x) = -----------
         sin(4*x) 
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cot{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}}$$
f = (cot(x) - 1)/sin(4*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.785398163397448$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cot{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 \left(\cot{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}} + \frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(8 \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}\right) \left(\cot{\left(x \right)} - 1\right) + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)}{\sin{\left(4 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.785398163397448$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + cot(x))/sin(4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)} - 1}{x \sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)} - 1}{x \sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cot{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}} = - \frac{- \cot{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}}$$
- No
$$\frac{\cot{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}} = \frac{- \cot{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(4 x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar