Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/sqrt(x-abs(x))

Gráfico de la función y = 1/sqrt(x-abs(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1     
f(x) = -----------
         _________
       \/ x - |x|
f(x)=1x−∣x∣f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x - \left|{x}\right|}} 
f = 1/(sqrt(x - |x|))
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1x−∣x∣=0\frac{1}{\sqrt{x - \left|{x}\right|}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sqrt(x - |x|)).
1−∣0∣\frac{1}{\sqrt{- \left|{0}\right|}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12−sign⁡(x)2x−∣x∣(x−∣x∣)=0- \frac{\frac{1}{2} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{2}}{\sqrt{x - \left|{x}\right|} \left(x - \left|{x}\right|\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1x−∣x∣=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x - \left|{x}\right|}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
False

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sqrt(x - |x|)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xx−∣x∣)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x - \left|{x}\right|}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
False

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1x−∣x∣=1−x−∣x∣\frac{1}{\sqrt{x - \left|{x}\right|}} = \frac{1}{\sqrt{- x - \left|{x}\right|}}
- No
1x−∣x∣=−1−x−∣x∣\frac{1}{\sqrt{x - \left|{x}\right|}} = - \frac{1}{\sqrt{- x - \left|{x}\right|}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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