Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(1/(1-x))

Gráfico de la función y = cos(1/(1-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  1  \
f(x) = cos|-----|
          \1 - x/
f(x)=cos⁡(11−x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1}{1 - x} \right)} 
f = cos(1/(1 - x))
Gráfico de la función
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.902-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(11−x)=0\cos{\left(\frac{1}{1 - x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2+ππx_{1} = \frac{-2 + \pi}{\pi}
x2=−23+ππx_{2} = \frac{- \frac{2}{3} + \pi}{\pi}
Solución numérica
x1=0.363380227632419x_{1} = 0.363380227632419
x2=0.787793409210806x_{2} = 0.787793409210806
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(1/(1 - x)).
cos⁡(11−0)\cos{\left(\frac{1}{1 - 0} \right)}
Resultado:
f(0)=cos⁡(1)f{\left(0 \right)} = \cos{\left(1 \right)}
Punto:
(0, cos(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(11−x)(1−x)2=0- \frac{\sin{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\left(1 - x\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+ππx_{1} = \frac{-1 + \pi}{\pi}
Signos de extremos en los puntos:
 -1 + pi     /     1     \ 
(-------, cos|-----------|)
    pi       |    -1 + pi| 
             |1 - -------| 
             \       pi  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1+ππx_{1} = \frac{-1 + \pi}{\pi}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1+ππ,∞)\left[\frac{-1 + \pi}{\pi}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1+ππ]\left(-\infty, \frac{-1 + \pi}{\pi}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(1x−1)+cos⁡(1x−1)x−1(x−1)3=0- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x - 1}}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=6233.06139727658x_{1} = 6233.06139727658
x2=5360.80898893521x_{2} = 5360.80898893521
x3=4270.50986415381x_{3} = 4270.50986415381
x4=−9686.35331292311x_{4} = -9686.35331292311
x5=5796.9341202499x_{5} = 5796.9341202499
x6=1436.10253814924x_{6} = 1436.10253814924
x7=−2708.39636863656x_{7} = -2708.39636863656
x8=−5325.04101852031x_{8} = -5325.04101852031
x9=10376.3258102354x_{9} = 10376.3258102354
x10=8413.71828722813x_{10} = 8413.71828722813
x11=4052.45340013125x_{11} = 4052.45340013125
x12=−10776.6930609802x_{12} = -10776.6930609802
x13=−3144.48090736084x_{13} = -3144.48090736084
x14=−9032.15078557913x_{14} = -9032.15078557913
x15=3180.24643408608x_{15} = 3180.24643408608
x16=−1836.30703537053x_{16} = -1836.30703537053
x17=−7069.55226861765x_{17} = -7069.55226861765
x18=−5106.97954263842x_{18} = -5106.97954263842
x19=1872.06537226248x_{19} = 1872.06537226248
x20=2744.16059510607x_{20} = 2744.16059510607
x21=10158.2578391767x_{21} = 10158.2578391767
x22=−3798.6317968039x_{22} = -3798.6317968039
x23=−10994.7612819914x_{23} = -10994.7612819914
x24=−7287.61787799105x_{24} = -7287.61787799105
x25=3398.29461432406x_{25} = 3398.29461432406
x26=−8159.88278528331x_{26} = -8159.88278528331
x27=5578.87125491723x_{27} = 5578.87125491723
x28=9940.18996725467x_{28} = 9940.18996725467
x29=−9904.42106168312x_{29} = -9904.42106168312
x30=−6633.4219613182x_{30} = -6633.4219613182
x31=2962.20150261394x_{31} = 2962.20150261394
x32=7541.45237913793x_{32} = 7541.45237913793
x33=5142.74739857189x_{33} = 5142.74739857189
x34=7977.58492273659x_{34} = 7977.58492273659
x35=−9250.2181663969x_{35} = -9250.2181663969
x36=6014.99751972867x_{36} = 6014.99751972867
x37=9285.98701616102x_{37} = 9285.98701616102
x38=−9468.28567846641x_{38} = -9468.28567846641
x39=10812.4620257671x_{39} = 10812.4620257671
x40=4488.56766629157x_{40} = 4488.56766629157
x41=9722.12220114117x_{41} = 9722.12220114117
x42=10594.3938743084x_{42} = 10594.3938743084
x43=−6415.35732535687x_{43} = -6415.35732535687
x44=−7941.81622868068x_{44} = -7941.81622868068
x45=−2054.31410576644x_{45} = -2054.31410576644
x46=−5979.2292776235x_{46} = -5979.2292776235
x47=−7723.74987951654x_{47} = -7723.74987951654
x48=3834.3985026451x_{48} = 3834.3985026451
x49=−8814.08354575495x_{49} = -8814.08354575495
x50=−4234.74265583089x_{50} = -4234.74265583089
x51=−3580.57907188421x_{51} = -3580.57907188421
x52=7759.51853967289x_{52} = 7759.51853967289
x53=6887.25544412483x_{53} = 6887.25544412483
x54=−2926.43655387593x_{54} = -2926.43655387593
x55=−1400.35198944834x_{55} = -1400.35198944834
x56=7323.38646101428x_{56} = 7323.38646101428
x57=1654.07222311476x_{57} = 1654.07222311476
x58=7105.32080762592x_{58} = 7105.32080762592
x59=2526.12475474665x_{59} = 2526.12475474665
x60=9504.05454812042x_{60} = 9504.05454812042
x61=−7505.68375587167x_{61} = -7505.68375587167
x62=−3362.52861787125x_{62} = -3362.52861787125
x63=−8596.01645765476x_{63} = -8596.01645765476
x64=3616.34545524751x_{64} = 3616.34545524751
x65=−2490.36144718175x_{65} = -2490.36144718175
x66=6451.12570440101x_{66} = 6451.12570440101
x67=−6851.48695339001x_{67} = -6851.48695339001
x68=8195.65151056295x_{68} = 8195.65151056295
x69=2308.09541948888x_{69} = 2308.09541948888
x70=−10340.5568731872x_{70} = -10340.5568731872
x71=−4452.80026004831x_{71} = -4452.80026004831
x72=−8377.94953312617x_{72} = -8377.94953312617
x73=8849.85235122835x_{73} = 8849.85235122835
x74=−1618.31700484606x_{74} = -1618.31700484606
x75=−4888.91884776113x_{75} = -4888.91884776113
x76=9067.91961399822x_{76} = 9067.91961399822
x77=−4670.85904328701x_{77} = -4670.85904328701
x78=4924.68657360939x_{78} = 4924.68657360939
x79=4706.62662047595x_{79} = 4706.62662047595
x80=6669.19039895346x_{80} = 6669.19039895346
x81=−2272.33330592072x_{81} = -2272.33330592072
x82=8631.78523841769x_{82} = 8631.78523841769
x83=2090.07462835659x_{83} = 2090.07462835659
x84=−5761.16595852999x_{84} = -5761.16595852999
x85=−4016.6864226927x_{85} = -4016.6864226927
x86=−10558.6249229619x_{86} = -10558.6249229619
x87=−6197.29308309934x_{87} = -6197.29308309934
x88=−5543.1031832253x_{88} = -5543.1031832253
x89=−10122.4889173592x_{89} = -10122.4889173592
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(11−x)=1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{1}{1 - x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞cos⁡(11−x)=1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{1}{1 - x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(1/(1 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(11−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(11−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(11−x)=cos⁡(1x+1)\cos{\left(\frac{1}{1 - x} \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}
- No
cos⁡(11−x)=−cos⁡(1x+1)\cos{\left(\frac{1}{1 - x} \right)} = - \cos{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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