Sr Examen

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-3*sin(x)+4*cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ -3*sin(x)+4*cos(x)

Gráfico de la función y = -3*sin(x)+4*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -3*sin(x) + 4*cos(x)
f(x)=−3sin⁡(x)+4cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} 
f = -3*sin(x) + 4*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−3sin⁡(x)+4cos⁡(x)=0- 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=atan⁡(43)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}
Solución numérica
x1=−8.49748274276777x_{1} = -8.49748274276777
x2=13.4936658323608x_{2} = 13.4936658323608
x3=−58.7629652002045x_{3} = -58.7629652002045
x4=82.6087042113362x_{4} = 82.6087042113362
x5=−2.21429743558818x_{5} = -2.21429743558818
x6=−61.9045578537943x_{6} = -61.9045578537943
x7=−77.6125211217432x_{7} = -77.6125211217432
x8=−24.2054460107167x_{8} = -24.2054460107167
x9=−55.6213725466147x_{9} = -55.6213725466147
x10=32.3432217538995x_{10} = 32.3432217538995
x11=16.6352584859506x_{11} = 16.6352584859506
x12=−90.1788917361024x_{12} = -90.1788917361024
x13=35.4848144074893x_{13} = 35.4848144074893
x14=48.0511850218485x_{14} = 48.0511850218485
x15=88.8918895185158x_{15} = 88.8918895185158
x16=−39.9134092786657x_{16} = -39.9134092786657
x17=−93.3204843896922x_{17} = -93.3204843896922
x18=−5.35589008917797x_{18} = -5.35589008917797
x19=−36.7718166250759x_{19} = -36.7718166250759
x20=57.4759629826179x_{20} = 57.4759629826179
x21=−49.3381872394351x_{21} = -49.3381872394351
x22=−21.0638533571269x_{22} = -21.0638533571269
x23=92.0334821721056x_{23} = 92.0334821721056
x24=−80.754113775333x_{24} = -80.754113775333
x25=−87.0372990825126x_{25} = -87.0372990825126
x26=44.9095923682587x_{26} = 44.9095923682587
x27=70.0423335969771x_{27} = 70.0423335969771
x28=98.3166674792852x_{28} = 98.3166674792852
x29=0.927295218001612x_{29} = 0.927295218001612
x30=−83.8957064289228x_{30} = -83.8957064289228
x31=41.7679997146689x_{31} = 41.7679997146689
x32=−96.462077043282x_{32} = -96.462077043282
x33=−68.1877431609738x_{33} = -68.1877431609738
x34=51.1927776754383x_{34} = 51.1927776754383
x35=−65.046150507384x_{35} = -65.046150507384
x36=104.599852786465x_{36} = 104.599852786465
x37=60.6175556362077x_{37} = 60.6175556362077
x38=85.750296864926x_{38} = 85.750296864926
x39=−33.6302239714861x_{39} = -33.6302239714861
x40=95.1750748256954x_{40} = 95.1750748256954
x41=−14.7806680499474x_{41} = -14.7806680499474
x42=4.06888787159141x_{42} = 4.06888787159141
x43=−30.4886313178963x_{43} = -30.4886313178963
x44=22.9184437931302x_{44} = 22.9184437931302
x45=73.1839262505669x_{45} = 73.1839262505669
x46=10.352073178771x_{46} = 10.352073178771
x47=76.3255189041567x_{47} = 76.3255189041567
x48=79.4671115577464x_{48} = 79.4671115577464
x49=−206.417819918925x_{49} = -206.417819918925
x50=−74.4709284681534x_{50} = -74.4709284681534
x51=−71.3293358145636x_{51} = -71.3293358145636
x52=29.2016291003098x_{52} = 29.2016291003098
x53=−27.3470386643065x_{53} = -27.3470386643065
x54=−17.9222607035371x_{54} = -17.9222607035371
x55=38.6264070610791x_{55} = 38.6264070610791
x56=19.7768511395404x_{56} = 19.7768511395404
x57=−46.1965945858453x_{57} = -46.1965945858453
x58=66.9007409433873x_{58} = 66.9007409433873
x59=−58357.297837866x_{59} = -58357.297837866
x60=−43.0550019322555x_{60} = -43.0550019322555
x61=−52.4797798930249x_{61} = -52.4797798930249
x62=54.3343703290281x_{62} = 54.3343703290281
x63=63.7591482897975x_{63} = 63.7591482897975
x64=−99.6036696968718x_{64} = -99.6036696968718
x65=7.2104805251812x_{65} = 7.2104805251812
x66=−11.6390753963576x_{66} = -11.6390753963576
x67=26.06003644672x_{67} = 26.06003644672
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -3*sin(x) + 4*cos(x).
−3sin⁡(0)+4cos⁡(0)- 3 \sin{\left(0 \right)} + 4 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(34)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(-atan(3/4), 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−atan⁡(34)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(34)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[−atan⁡(34),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3sin⁡(x)−4cos⁡(x)=03 \sin{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(43)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[atan⁡(43),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,atan⁡(43)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−3sin⁡(x)+4cos⁡(x))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
lim⁡x→∞(−3sin⁡(x)+4cos⁡(x))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -3*sin(x) + 4*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−3sin⁡(x)+4cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−3sin⁡(x)+4cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−3sin⁡(x)+4cos⁡(x)=3sin⁡(x)+4cos⁡(x)- 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}
- No
−3sin⁡(x)+4cos⁡(x)=−3sin⁡(x)−4cos⁡(x)- 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} = - 3 \sin{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -3*sin(x)+4*cos(x)
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