Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3*sin(x)+4*cos(x)

Gráfico de la función y = 3*sin(x)+4*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*sin(x) + 4*cos(x)
f(x)=3sin⁡(x)+4cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} 
f = 3*sin(x) + 4*cos(x)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)+4cos⁡(x)=03 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(43)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}
Solución numérica
x1=74.4709284681534x_{1} = 74.4709284681534
x2=17.9222607035371x_{2} = 17.9222607035371
x3=−79.4671115577464x_{3} = -79.4671115577464
x4=33.6302239714861x_{4} = 33.6302239714861
x5=5.35589008917797x_{5} = 5.35589008917797
x6=−98.3166674792852x_{6} = -98.3166674792852
x7=−88.8918895185158x_{7} = -88.8918895185158
x8=−35.4848144074893x_{8} = -35.4848144074893
x9=−29.2016291003098x_{9} = -29.2016291003098
x10=27.3470386643065x_{10} = 27.3470386643065
x11=−73.1839262505669x_{11} = -73.1839262505669
x12=−76.3255189041567x_{12} = -76.3255189041567
x13=−95.1750748256954x_{13} = -95.1750748256954
x14=71.3293358145636x_{14} = 71.3293358145636
x15=80.754113775333x_{15} = 80.754113775333
x16=−54.3343703290281x_{16} = -54.3343703290281
x17=−32.3432217538995x_{17} = -32.3432217538995
x18=43.0550019322555x_{18} = 43.0550019322555
x19=46.1965945858453x_{19} = 46.1965945858453
x20=61.9045578537943x_{20} = 61.9045578537943
x21=−13.4936658323608x_{21} = -13.4936658323608
x22=24.2054460107167x_{22} = 24.2054460107167
x23=168.718708075847x_{23} = 168.718708075847
x24=8.49748274276777x_{24} = 8.49748274276777
x25=−57.4759629826179x_{25} = -57.4759629826179
x26=−7.2104805251812x_{26} = -7.2104805251812
x27=93.3204843896922x_{27} = 93.3204843896922
x28=52.4797798930249x_{28} = 52.4797798930249
x29=2.21429743558818x_{29} = 2.21429743558818
x30=−10.352073178771x_{30} = -10.352073178771
x31=−82.6087042113362x_{31} = -82.6087042113362
x32=−60.6175556362077x_{32} = -60.6175556362077
x33=109.028447657641x_{33} = 109.028447657641
x34=96.462077043282x_{34} = 96.462077043282
x35=−19.7768511395404x_{35} = -19.7768511395404
x36=36.7718166250759x_{36} = 36.7718166250759
x37=−51.1927776754383x_{37} = -51.1927776754383
x38=−38.6264070610791x_{38} = -38.6264070610791
x39=−4.06888787159141x_{39} = -4.06888787159141
x40=21.0638533571269x_{40} = 21.0638533571269
x41=14.7806680499474x_{41} = 14.7806680499474
x42=11.6390753963576x_{42} = 11.6390753963576
x43=58.7629652002045x_{43} = 58.7629652002045
x44=−63.7591482897975x_{44} = -63.7591482897975
x45=−710.927234929295x_{45} = -710.927234929295
x46=65.046150507384x_{46} = 65.046150507384
x47=99.6036696968718x_{47} = 99.6036696968718
x48=−66.9007409433873x_{48} = -66.9007409433873
x49=−41.7679997146689x_{49} = -41.7679997146689
x50=30.4886313178963x_{50} = 30.4886313178963
x51=68.1877431609738x_{51} = 68.1877431609738
x52=55.6213725466147x_{52} = 55.6213725466147
x53=77.6125211217432x_{53} = 77.6125211217432
x54=−44.9095923682587x_{54} = -44.9095923682587
x55=39.9134092786657x_{55} = 39.9134092786657
x56=83.8957064289228x_{56} = 83.8957064289228
x57=90.1788917361024x_{57} = 90.1788917361024
x58=−26.06003644672x_{58} = -26.06003644672
x59=−22.9184437931302x_{59} = -22.9184437931302
x60=−0.927295218001612x_{60} = -0.927295218001612
x61=87.0372990825126x_{61} = 87.0372990825126
x62=−92.0334821721056x_{62} = -92.0334821721056
x63=−70.0423335969771x_{63} = -70.0423335969771
x64=−16.6352584859506x_{64} = -16.6352584859506
x65=49.3381872394351x_{65} = 49.3381872394351
x66=−48.0511850218485x_{66} = -48.0511850218485
x67=−85.750296864926x_{67} = -85.750296864926
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*sin(x) + 4*cos(x).
3sin⁡(0)+4cos⁡(0)3 \sin{\left(0 \right)} + 4 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(34)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(atan(3/4), 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(34)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(34)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(34),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(3sin⁡(x)+4cos⁡(x))=0- (3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(43)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(43)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(43),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+4cos⁡(x))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+4cos⁡(x))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*sin(x) + 4*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+4cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+4cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)+4cos⁡(x)=−3sin⁡(x)+4cos⁡(x)3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} = - 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}
- No
3sin⁡(x)+4cos⁡(x)=3sin⁡(x)−4cos⁡(x)3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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