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Trazado el gráfico de la función/ abs(log(1-x))

Gráfico de la función y = abs(log(1-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |log(1 - x)|
f(x)=∣log⁡(1−x)∣f{\left(x \right)} = \left|{\log{\left(1 - x \right)}}\right| 
f = Abs(log(1 - x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣log⁡(1−x)∣=0\left|{\log{\left(1 - x \right)}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(log(1 - x)).
∣log⁡(1−0)∣\left|{\log{\left(1 - 0 \right)}}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log⁡(x−1sign⁡(x−1))sign⁡2(x−1)sign⁡(log⁡(1−x))(x−1)log⁡(1−x)=0\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}} \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x - 1 \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(1 - x \right)} \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, pi)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(4log⁡(x−1sign⁡(x−1))δ(x−1)sign⁡(log⁡(1−x))+log⁡(x−1sign⁡(x−1))sign⁡(x−1)ddxsign⁡(log⁡(1−x))−(2(x−1)δ(x−1)sign⁡(x−1)−1)sign⁡(x−1)sign⁡(log⁡(1−x))x−1−log⁡(x−1sign⁡(x−1))sign⁡(x−1)sign⁡(log⁡(1−x))x−1−log⁡(x−1sign⁡(x−1))sign⁡(x−1)sign⁡(log⁡(1−x))(x−1)log⁡(1−x))sign⁡(x−1)(x−1)log⁡(1−x)=0\frac{\left(4 \log{\left(\frac{x - 1}{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}} \right)} \delta\left(x - 1\right) \operatorname{sign}{\left(\log{\left(1 - x \right)} \right)} + \log{\left(\frac{x - 1}{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}} \right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(1 - x \right)} \right)} - \frac{\left(\frac{2 \left(x - 1\right) \delta\left(x - 1\right)}{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}} - 1\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(1 - x \right)} \right)}}{x - 1} - \frac{\log{\left(\frac{x - 1}{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}} \right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(1 - x \right)} \right)}}{x - 1} - \frac{\log{\left(\frac{x - 1}{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}} \right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(1 - x \right)} \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣log⁡(1−x)∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{\log{\left(1 - x \right)}}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣log⁡(1−x)∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{\log{\left(1 - x \right)}}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(log(1 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣log⁡(1−x)∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\log{\left(1 - x \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(∣log⁡(1−x)∣x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\log{\left(1 - x \right)}}\right|}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣log⁡(1−x)∣=∣log⁡(x+1)∣\left|{\log{\left(1 - x \right)}}\right| = \left|{\log{\left(x + 1 \right)}}\right|
- No
∣log⁡(1−x)∣=−∣log⁡(x+1)∣\left|{\log{\left(1 - x \right)}}\right| = - \left|{\log{\left(x + 1 \right)}}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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