Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(log(((1/3))(x+1))-2)+1

Gráfico de la función y = abs(log(((1/3))(x+1))-2)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |   /x + 1\    |    
f(x) = |log|-----| - 2| + 1
       |   \  3  /    |
f(x)=∣log⁡(x+13)−2∣+1f{\left(x \right)} = \left|{\log{\left(\frac{x + 1}{3} \right)} - 2}\right| + 1 
f = Abs(log((x + 1)/3) - 2) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣log⁡(x+13)−2∣+1=0\left|{\log{\left(\frac{x + 1}{3} \right)} - 2}\right| + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(log((x + 1)/3) - 2) + 1.
1+∣−2+log⁡(13)∣1 + \left|{-2 + \log{\left(\frac{1}{3} \right)}}\right|
Resultado:
f(0)=log⁡(3)+3f{\left(0 \right)} = \log{\left(3 \right)} + 3
Punto:
(0, 3 + log(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(log⁡(x3+13sign⁡(x3+13))−2)sign⁡2(x3+13)sign⁡(log⁡(x3+13)−2)3(x3+13)(log⁡(x3+13)−2)=0\frac{\left(\log{\left(\frac{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}{\operatorname{sign}{\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \right)}} \right)} - 2\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \right)} - 2 \right)}}{3 \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{3}\right) \left(\log{\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \right)} - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23.1671682967919x_{1} = -23.1671682967919
Signos de extremos en los puntos:
(-23.16716829679195, 1 + pi)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(∣log⁡(x+13)−2∣+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{\log{\left(\frac{x + 1}{3} \right)} - 2}\right| + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(∣log⁡(x+13)−2∣+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left|{\log{\left(\frac{x + 1}{3} \right)} - 2}\right| + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(log((x + 1)/3) - 2) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣log⁡(x+13)−2∣+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\log{\left(\frac{x + 1}{3} \right)} - 2}\right| + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣log⁡(x+13)−2∣+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\log{\left(\frac{x + 1}{3} \right)} - 2}\right| + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣log⁡(x+13)−2∣+1=∣log⁡(13−x3)−2∣+1\left|{\log{\left(\frac{x + 1}{3} \right)} - 2}\right| + 1 = \left|{\log{\left(\frac{1}{3} - \frac{x}{3} \right)} - 2}\right| + 1
- No
∣log⁡(x+13)−2∣+1=−∣log⁡(13−x3)−2∣−1\left|{\log{\left(\frac{x + 1}{3} \right)} - 2}\right| + 1 = - \left|{\log{\left(\frac{1}{3} - \frac{x}{3} \right)} - 2}\right| - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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