Sr Examen

Gráfico de la función y = abs(log(1/3)(x+1)-2)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = |log(1/3)*(x + 1) - 2| + 1
$$f{\left(x \right)} = \left|{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2}\right| + 1$$
f = Abs((x + 1)*log(1/3) - 2) + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2}\right| + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(log(1/3)*(x + 1) - 2) + 1.
$$1 + \left|{-2 + \log{\left(\frac{1}{3} \right)}}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(3 \right)} + 3$$
Punto:
(0, 3 + log(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\log{\left(\frac{1}{3} \right)} \operatorname{sign}{\left(\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2} \delta\left(\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2}\right| + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left|{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2}\right| + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(log(1/3)*(x + 1) - 2) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2}\right| + 1}{x}\right) = - \log{\left(3 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2}\right| + 1}{x}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \log{\left(3 \right)}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2}\right| + 1 = \sqrt{x^{2} \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2} + 4 x \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2 x \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2} + 4 - 4 \log{\left(\frac{1}{3} \right)}} + 1$$
- No
$$\left|{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2}\right| + 1 = - \sqrt{x^{2} \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2} + 4 x \log{\left(\frac{1}{3} \right)} - 2 x \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2} + 4 - 4 \log{\left(\frac{1}{3} \right)}} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar