Sr Examen

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x/(1-cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ x/(1-cos(x))

Gráfico de la función y = x/(1-cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           x     
f(x) = ----------
       1 - cos(x)
f(x)=x1−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{x}{1 - \cos{\left(x \right)}} 
f = x/(1 - cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000000010000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x1−cos⁡(x)=0\frac{x}{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(1 - cos(x)).
01−cos⁡(0)\frac{0}{1 - \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xsin⁡(x)(1−cos⁡(x))2+11−cos⁡(x)=0- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−78.5143446648172x_{1} = -78.5143446648172
x2=−21.8998872970823x_{2} = -21.8998872970823
x3=−15.5797675022891x_{3} = -15.5797675022891
x4=−59.656738426191x_{4} = -59.656738426191
x5=−97.3688325296866x_{5} = -97.3688325296866
x6=−2.33112237041442x_{6} = -2.33112237041442
x7=−40.7916847146183x_{7} = -40.7916847146183
x8=78.5143446648172x_{8} = 78.5143446648172
x9=40.7916847146183x_{9} = 40.7916847146183
x10=−47.0814165846103x_{10} = -47.0814165846103
x11=−84.7994176724893x_{11} = -84.7994176724893
x12=−65.943118880897x_{12} = -65.943118880897
x13=21.8998872970823x_{13} = 21.8998872970823
x14=−53.3696049818501x_{14} = -53.3696049818501
x15=59.656738426191x_{15} = 59.656738426191
x16=65.943118880897x_{16} = 65.943118880897
x17=−9.20843355440115x_{17} = -9.20843355440115
x18=91.0842301384618x_{18} = 91.0842301384618
x19=34.4995636692158x_{19} = 34.4995636692158
x20=47.0814165846103x_{20} = 47.0814165846103
x21=28.2034502671317x_{21} = 28.2034502671317
x22=−91.0842301384618x_{22} = -91.0842301384618
x23=2.33112237041442x_{23} = 2.33112237041442
x24=−28.2034502671317x_{24} = -28.2034502671317
x25=−34.4995636692158x_{25} = -34.4995636692158
x26=72.2289430706097x_{26} = 72.2289430706097
x27=9.20843355440115x_{27} = 9.20843355440115
x28=−72.2289430706097x_{28} = -72.2289430706097
x29=84.7994176724893x_{29} = 84.7994176724893
x30=15.5797675022891x_{30} = 15.5797675022891
x31=53.3696049818501x_{31} = 53.3696049818501
x32=97.3688325296866x_{32} = 97.3688325296866
Signos de extremos en los puntos:
(-78.51434466481717, -39.2635405954583)

(-21.89988729708232, -10.9727748162644)

(-15.579767502289146, -7.821976656249)

(-59.65673842619101, -29.836750495968)

(-97.36883252968656, -48.6895513782775)

(-2.331122370414423, -1.3800501396893)

(-40.791684714618334, -20.4080997574018)

(78.51434466481717, 39.2635405954583)

(40.791684714618334, 20.4080997574018)

(-47.0814165846103, -23.5513281936648)

(-84.79941767248933, -42.4056051031498)

(-65.94311888089696, -32.9791417327101)

(21.89988729708232, 10.9727748162644)

(-53.36960498185014, -26.6941711193826)

(59.65673842619101, 29.836750495968)

(65.94311888089696, 32.9791417327101)

(-9.208433554401154, -4.65851482876886)

(91.0842301384618, 45.5476044936817)

(34.49956366921579, 17.2642747715272)

(47.0814165846103, 23.5513281936648)

(28.203450267131746, 14.1194534609607)

(-91.0842301384618, -45.5476044936817)

(2.331122370414423, 1.3800501396893)

(-28.203450267131746, -14.1194534609607)

(-34.49956366921579, -17.2642747715272)

(72.2289430706097, 36.1213939680409)

(9.208433554401154, 4.65851482876886)

(-72.2289430706097, -36.1213939680409)

(84.79941767248933, 42.4056051031498)

(15.579767502289146, 7.821976656249)

(53.36960498185014, 26.6941711193826)

(97.36883252968656, 48.6895513782775)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=78.5143446648172x_{1} = 78.5143446648172
x2=40.7916847146183x_{2} = 40.7916847146183
x3=21.8998872970823x_{3} = 21.8998872970823
x4=59.656738426191x_{4} = 59.656738426191
x5=65.943118880897x_{5} = 65.943118880897
x6=91.0842301384618x_{6} = 91.0842301384618
x7=34.4995636692158x_{7} = 34.4995636692158
x8=47.0814165846103x_{8} = 47.0814165846103
x9=28.2034502671317x_{9} = 28.2034502671317
x10=2.33112237041442x_{10} = 2.33112237041442
x11=72.2289430706097x_{11} = 72.2289430706097
x12=9.20843355440115x_{12} = 9.20843355440115
x13=84.7994176724893x_{13} = 84.7994176724893
x14=15.5797675022891x_{14} = 15.5797675022891
x15=53.3696049818501x_{15} = 53.3696049818501
x16=97.3688325296866x_{16} = 97.3688325296866
Puntos máximos de la función:
x16=−78.5143446648172x_{16} = -78.5143446648172
x16=−21.8998872970823x_{16} = -21.8998872970823
x16=−15.5797675022891x_{16} = -15.5797675022891
x16=−59.656738426191x_{16} = -59.656738426191
x16=−97.3688325296866x_{16} = -97.3688325296866
x16=−2.33112237041442x_{16} = -2.33112237041442
x16=−40.7916847146183x_{16} = -40.7916847146183
x16=−47.0814165846103x_{16} = -47.0814165846103
x16=−84.7994176724893x_{16} = -84.7994176724893
x16=−65.943118880897x_{16} = -65.943118880897
x16=−53.3696049818501x_{16} = -53.3696049818501
x16=−9.20843355440115x_{16} = -9.20843355440115
x16=−91.0842301384618x_{16} = -91.0842301384618
x16=−28.2034502671317x_{16} = -28.2034502671317
x16=−34.4995636692158x_{16} = -34.4995636692158
x16=−72.2289430706097x_{16} = -72.2289430706097
Decrece en los intervalos
[97.3688325296866,∞)\left[97.3688325296866, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2.33112237041442,2.33112237041442]\left[-2.33112237041442, 2.33112237041442\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)+2sin⁡(x)(cos⁡(x)−1)2=0- \frac{x \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x1−cos⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x1−cos⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(1 - cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞11−cos⁡(x)=⟨12,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \left\langle \frac{1}{2}, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨12,∞⟩xy = \left\langle \frac{1}{2}, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞11−cos⁡(x)=⟨12,∞⟩\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \left\langle \frac{1}{2}, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨12,∞⟩xy = \left\langle \frac{1}{2}, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x1−cos⁡(x)=−x1−cos⁡(x)\frac{x}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{x}{1 - \cos{\left(x \right)}}
- No
x1−cos⁡(x)=x1−cos⁡(x)\frac{x}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \frac{x}{1 - \cos{\left(x \right)}}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/(1-cos(x))
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