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y=sin4x×cosx+2sin3x-cos4x×sinx
Trazado el gráfico de la función/ y=sin4x×cosx+2sin3x-cos4x×sinx

Gráfico de la función y = y=sin4x×cosx+2sin3x-cos4x×sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(4*x)*cos(x) + 2*sin(3*x) - cos(4*x)*sin(x)
f(x)=(2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} 
f = 2*sin(3*x) + sin(4*x)*cos(x) - sin(x)*cos(4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)=0\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=2π3x_{5} = \frac{2 \pi}{3}
x6=πx_{6} = \pi
Solución numérica
x1=65.9734457253857x_{1} = 65.9734457253857
x2=−90.0589894029074x_{2} = -90.0589894029074
x3=39.7935069454707x_{3} = 39.7935069454707
x4=26.1799387799149x_{4} = 26.1799387799149
x5=−24.0855436775217x_{5} = -24.0855436775217
x6=100.530964914873x_{6} = 100.530964914873
x7=−17.8023583703422x_{7} = -17.8023583703422
x8=80.634211442138x_{8} = 80.634211442138
x9=−11.5191730631626x_{9} = -11.5191730631626
x10=−6.28318530717959x_{10} = -6.28318530717959
x11=48.1710873550435x_{11} = 48.1710873550435
x12=−46.0766922526503x_{12} = -46.0766922526503
x13=72.2566310325652x_{13} = 72.2566310325652
x14=19.8967534727354x_{14} = 19.8967534727354
x15=−85.870199198121x_{15} = -85.870199198121
x16=−50.2654824574367x_{16} = -50.2654824574367
x17=−59.6902604182061x_{17} = -59.6902604182061
x18=74.3510261349584x_{18} = 74.3510261349584
x19=56.5486677646163x_{19} = 56.5486677646163
x20=96.342174710087x_{20} = 96.342174710087
x21=−61.7846555205993x_{21} = -61.7846555205993
x22=−15.707963267949x_{22} = -15.707963267949
x23=−39.7935069454707x_{23} = -39.7935069454707
x24=37.6991118430775x_{24} = 37.6991118430775
x25=4.18879020478639x_{25} = 4.18879020478639
x26=−94.2477796076938x_{26} = -94.2477796076938
x27=90.0589894029074x_{27} = 90.0589894029074
x28=−8.37758040957278x_{28} = -8.37758040957278
x29=78.5398163397448x_{29} = 78.5398163397448
x30=41.8879020478639x_{30} = 41.8879020478639
x31=81.6814089933346x_{31} = 81.6814089933346
x32=−72.2566310325652x_{32} = -72.2566310325652
x33=50.2654824574367x_{33} = 50.2654824574367
x34=−21.9911485751286x_{34} = -21.9911485751286
x35=98.4365698124802x_{35} = 98.4365698124802
x36=15.707963267949x_{36} = 15.707963267949
x37=−37.6991118430775x_{37} = -37.6991118430775
x38=−70.162235930172x_{38} = -70.162235930172
x39=30.3687289847013x_{39} = 30.3687289847013
x40=21.9911485751286x_{40} = 21.9911485751286
x41=−92.1533845053006x_{41} = -92.1533845053006
x42=17.8023583703422x_{42} = 17.8023583703422
x43=10.471975511966x_{43} = 10.471975511966
x44=52.3598775598299x_{44} = 52.3598775598299
x45=76.4454212373516x_{45} = 76.4454212373516
x46=−41.8879020478639x_{46} = -41.8879020478639
x47=−33.5103216382911x_{47} = -33.5103216382911
x48=63.8790506229925x_{48} = 63.8790506229925
x49=−2.0943951023932x_{49} = -2.0943951023932
x50=83.7758040957278x_{50} = 83.7758040957278
x51=61.7846555205993x_{51} = 61.7846555205993
x52=85.870199198121x_{52} = 85.870199198121
x53=6.28318530717959x_{53} = 6.28318530717959
x54=−28.2743338823081x_{54} = -28.2743338823081
x55=−4.18879020478639x_{55} = -4.18879020478639
x56=43.9822971502571x_{56} = 43.9822971502571
x57=−81.6814089933346x_{57} = -81.6814089933346
x58=70.162235930172x_{58} = 70.162235930172
x59=−48.1710873550435x_{59} = -48.1710873550435
x60=−65.9734457253857x_{60} = -65.9734457253857
x61=−63.8790506229925x_{61} = -63.8790506229925
x62=−99.4837673636768x_{62} = -99.4837673636768
x63=−57.5958653158129x_{63} = -57.5958653158129
x64=−55.5014702134197x_{64} = -55.5014702134197
x65=59.6902604182061x_{65} = 59.6902604182061
x66=−77.4926187885482x_{66} = -77.4926187885482
x67=746.651854003174x_{67} = 746.651854003174
x68=−31.4159265358979x_{68} = -31.4159265358979
x69=−13.6135681655558x_{69} = -13.6135681655558
x70=46.0766922526503x_{70} = 46.0766922526503
x71=−29.3215314335047x_{71} = -29.3215314335047
x72=−68.0678408277789x_{72} = -68.0678408277789
x73=92.1533845053006x_{73} = 92.1533845053006
x74=−10.471975511966x_{74} = -10.471975511966
x75=0x_{75} = 0
x76=54.4542726622231x_{76} = 54.4542726622231
x77=−26.1799387799149x_{77} = -26.1799387799149
x78=−79.5870138909414x_{78} = -79.5870138909414
x79=68.0678408277789x_{79} = 68.0678408277789
x80=24.0855436775217x_{80} = 24.0855436775217
x81=−83.7758040957278x_{81} = -83.7758040957278
x82=32.4631240870945x_{82} = 32.4631240870945
x83=28.2743338823081x_{83} = 28.2743338823081
x84=94.2477796076938x_{84} = 94.2477796076938
x85=2.0943951023932x_{85} = 2.0943951023932
x86=109.955742875643x_{86} = 109.955742875643
x87=−87.9645943005142x_{87} = -87.9645943005142
x88=−54.4542726622231x_{88} = -54.4542726622231
x89=−35.6047167406843x_{89} = -35.6047167406843
x90=−43.9822971502571x_{90} = -43.9822971502571
x91=8.37758040957278x_{91} = 8.37758040957278
x92=−98.4365698124802x_{92} = -98.4365698124802
x93=34.5575191894877x_{93} = 34.5575191894877
x94=−19.8967534727354x_{94} = -19.8967534727354
x95=87.9645943005142x_{95} = 87.9645943005142
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(4*x)*cos(x) + 2*sin(3*x) - cos(4*x)*sin(x).
(sin⁡(0⋅4)cos⁡(0)+2sin⁡(0⋅3))−sin⁡(0)cos⁡(0⋅4)\left(\sin{\left(0 \cdot 4 \right)} \cos{\left(0 \right)} + 2 \sin{\left(0 \cdot 3 \right)}\right) - \sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \cdot 4 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡(x)sin⁡(4x)+3cos⁡(x)cos⁡(4x)+6cos⁡(3x)=03 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + 6 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π6x_{4} = \frac{\pi}{6}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=5π6x_{6} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -5*pi     
(-----, -3)
   6       

 -pi     
(----, 3)
  2      

 -pi      
(----, -3)
  6       

 pi    
(--, 3)
 6     

 pi     
(--, -3)
 2      

 5*pi    
(----, 3)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x3=−π2x_{3} = - \frac{\pi}{2}
x3=π6x_{3} = \frac{\pi}{6}
x3=5π6x_{3} = \frac{5 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5π6]\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(sin⁡(x)cos⁡(4x)−2sin⁡(3x)−sin⁡(4x)cos⁡(x))=09 \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(3 x \right)} - \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=2π3x_{5} = \frac{2 \pi}{3}
x6=πx_{6} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π3]\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
lim⁡x→∞((2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(4*x)*cos(x) + 2*sin(3*x) - cos(4*x)*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)=sin⁡(x)cos⁡(4x)−2sin⁡(3x)−sin⁡(4x)cos⁡(x)\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(3 x \right)} - \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
(2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)=−sin⁡(x)cos⁡(4x)+2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x)\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + 2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=sin4x×cosx+2sin3x-cos4x×sinx
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