Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
3/(x^2+1)
-
(1/3)^x
-
x/(x^3+2)
-
y=2x-3
-
Expresiones idénticas
- (cos(x)-sin(x))*(uno - dos *sin(x)*cos(x))+ uno
- ( coseno de (x) menos seno de (x)) multiplicar por (1 menos 2 multiplicar por seno de (x) multiplicar por coseno de (x)) más 1
- ( coseno de (x) menos seno de (x)) multiplicar por (uno menos dos multiplicar por seno de (x) multiplicar por coseno de (x)) más uno
- (cos(x)-sin(x))(1-2sin(x)cos(x))+1
- cosx-sinx1-2sinxcosx+1
-
Expresiones semejantes
- (cos(x)+sin(x))*(1-2*sin(x)*cos(x))+1
- (cos(x)-sin(x))*(1+2*sin(x)*cos(x))+1
- (cos(x)-sin(x))*(1-2*sin(x)*cos(x))-1
- (cosx-sinx)*(1-2*sinx*cosx)+1
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x),x
- cos(x)-sqrt(3)*sin(x)
- cos(3x)+3cos(x)
- cos(x)*e^x
- cos(x)+sin(2*x)/2
- Seno sin
- sin(x)/1+cos(x)
- sin(-x+3)
- sin(x)/(-5-2*sin(x))
- sin(4*x)^(2)
- sin(2*x)*log(x)
- Seno sin
- sin(x)/1+cos(x)
- sin(-x+3)
- sin(x)/(-5-2*sin(x))
- sin(4*x)^(2)
- sin(2*x)*log(x)
- Coseno cos
- cos(x),x
- cos(x)-sqrt(3)*sin(x)
- cos(3x)+3cos(x)
- cos(x)*e^x
- cos(x)+sin(2*x)/2
Gráfico de la función y = (cos(x)-sin(x))*(1-2*sin(x)*cos(x))+1
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = (cos(x) - sin(x))*(1 - 2*sin(x)*cos(x)) + 1
$$f{\left(x \right)} = \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1$$
f = (-2*sin(x)*cos(x) + 1)*(-sin(x) + cos(x)) + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 102.101761241668$$
$$x_{2} = -97.3893722612836$$
$$x_{3} = -72.2566310325652$$
$$x_{4} = -59.6902604182061$$
$$x_{5} = 699.004365423729$$
$$x_{6} = 556.061899685393$$
$$x_{7} = 64.4026493985908$$
$$x_{8} = 9.42477796076938$$
$$x_{9} = 7.85398163397448$$
$$x_{10} = -419.402619254237$$
$$x_{11} = 39.2699081698724$$
$$x_{12} = 84.8230016469244$$
$$x_{13} = 409.977841293468$$
$$x_{14} = -21.9911485751286$$
$$x_{15} = -92.6769832808989$$
$$x_{16} = -23.5619449019235$$
$$x_{17} = 28.2743338823081$$
$$x_{18} = -28.2743338823081$$
$$x_{19} = -80.1106126665397$$
$$x_{20} = -65.9734457253857$$
$$x_{21} = -91.106186954104$$
$$x_{22} = 45.553093477052$$
$$x_{23} = -67.5442420521806$$
$$x_{24} = 51.8362787842316$$
$$x_{25} = 40.8407044966673$$
$$x_{26} = 76.9690200129499$$
$$x_{27} = -53.4070751110265$$
$$x_{28} = -3.14159265358979$$
$$x_{29} = 21.9911485751286$$
$$x_{30} = -4.71238898038469$$
$$x_{31} = 95.8185759344887$$
$$x_{32} = 34.5575191894877$$
$$x_{33} = -86.3937979737193$$
$$x_{34} = -36.1283155162826$$
$$x_{35} = -15.707963267949$$
$$x_{36} = 83.2522053201295$$
$$x_{37} = -17.2787595947439$$
$$x_{38} = 53.4070751110265$$
$$x_{39} = 20.4203522483337$$
$$x_{40} = 65.9734457253857$$
$$x_{41} = -48.6946861306418$$
$$x_{42} = 91.106186954104$$
$$x_{43} = 59.6902604182061$$
$$x_{44} = 14.1371669411541$$
$$x_{45} = -73.8274273593601$$
$$x_{46} = 89.5353906273091$$
$$x_{47} = 78.5398163397448$$
$$x_{48} = 15.707963267949$$
$$x_{49} = 58.1194640914112$$
$$x_{50} = 72.2566310325652$$
$$x_{51} = 1.5707963267949$$
$$x_{52} = -47.1238898038469$$
$$x_{53} = -42.4115008234622$$
$$x_{54} = -9.42477796076938$$
$$x_{55} = -34.5575191894877$$
$$x_{56} = -29.845130209103$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 102.101761241668$$
$$x_{2} = -97.3893722612836$$
$$x_{3} = -72.2566310325652$$
$$x_{4} = -59.6902604182061$$
$$x_{5} = 699.004365423729$$
$$x_{6} = 556.061899685393$$
$$x_{7} = 64.4026493985908$$
$$x_{8} = 9.42477796076938$$
$$x_{9} = 7.85398163397448$$
$$x_{10} = -419.402619254237$$
$$x_{11} = 39.2699081698724$$
$$x_{12} = 84.8230016469244$$
$$x_{13} = 409.977841293468$$
$$x_{14} = -21.9911485751286$$
$$x_{15} = -92.6769832808989$$
$$x_{16} = -23.5619449019235$$
$$x_{17} = 28.2743338823081$$
$$x_{18} = -28.2743338823081$$
$$x_{19} = -80.1106126665397$$
$$x_{20} = -65.9734457253857$$
$$x_{21} = -91.106186954104$$
$$x_{22} = 45.553093477052$$
$$x_{23} = -67.5442420521806$$
$$x_{24} = 51.8362787842316$$
$$x_{25} = 40.8407044966673$$
$$x_{26} = 76.9690200129499$$
$$x_{27} = -53.4070751110265$$
$$x_{28} = -3.14159265358979$$
$$x_{29} = 21.9911485751286$$
$$x_{30} = -4.71238898038469$$
$$x_{31} = 95.8185759344887$$
$$x_{32} = 34.5575191894877$$
$$x_{33} = -86.3937979737193$$
$$x_{34} = -36.1283155162826$$
$$x_{35} = -15.707963267949$$
$$x_{36} = 83.2522053201295$$
$$x_{37} = -17.2787595947439$$
$$x_{38} = 53.4070751110265$$
$$x_{39} = 20.4203522483337$$
$$x_{40} = 65.9734457253857$$
$$x_{41} = -48.6946861306418$$
$$x_{42} = 91.106186954104$$
$$x_{43} = 59.6902604182061$$
$$x_{44} = 14.1371669411541$$
$$x_{45} = -73.8274273593601$$
$$x_{46} = 89.5353906273091$$
$$x_{47} = 78.5398163397448$$
$$x_{48} = 15.707963267949$$
$$x_{49} = 58.1194640914112$$
$$x_{50} = 72.2566310325652$$
$$x_{51} = 1.5707963267949$$
$$x_{52} = -47.1238898038469$$
$$x_{53} = -42.4115008234622$$
$$x_{54} = -9.42477796076938$$
$$x_{55} = -34.5575191894877$$
$$x_{56} = -29.845130209103$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
-3*pi (-----, 1) 4
-pi ___ (----, 1 + 2*\/ 2 ) 4
pi (--, 1) 4
3*pi ___ (----, 1 - 2*\/ 2 ) 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 8 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-3 + \sqrt{6} \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 3 \right)}$$
$$x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} + 3 + \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{2} + 3} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 3 \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 8 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-3 + \sqrt{6} \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 3 \right)}$$
$$x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} + 3 + \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{2} + 3} + 2 \sqrt{2} + 3 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 3 \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right) = \left\langle -5, 7\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -5, 7\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right) = \left\langle -5, 7\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -5, 7\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right) = \left\langle -5, 7\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -5, 7\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right) = \left\langle -5, 7\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -5, 7\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(x) - sin(x))*(1 - 2*sin(x)*cos(x)) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = \left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1$$
- No
$$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = - \left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = \left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1$$
- No
$$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = - \left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar