Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=1/2*sin(x/2+(pi)/6)

Gráfico de la función y = y=1/2*sin(x/2+(pi)/6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x   pi\
       sin|- + --|
          \2   6 /
f(x) = -----------
            2
f(x)=sin⁡(x2+π6)2f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} 
f = sin(x/2 + pi/6)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x2+π6)2=0\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−101.57816246607x_{1} = -101.57816246607
x2=36.6519142918809x_{2} = 36.6519142918809
x3=11.5191730631626x_{3} = 11.5191730631626
x4=−32.4631240870945x_{4} = -32.4631240870945
x5=99.4837673636768x_{5} = 99.4837673636768
x6=49.2182849062401x_{6} = 49.2182849062401
x7=−7.33038285837618x_{7} = -7.33038285837618
x8=17.8023583703422x_{8} = 17.8023583703422
x9=−95.2949771588904x_{9} = -95.2949771588904
x10=−378.038315981972x_{10} = -378.038315981972
x11=−26.1799387799149x_{11} = -26.1799387799149
x12=80.634211442138x_{12} = 80.634211442138
x13=−19.8967534727354x_{13} = -19.8967534727354
x14=24.0855436775217x_{14} = 24.0855436775217
x15=−13.6135681655558x_{15} = -13.6135681655558
x16=5.23598775598299x_{16} = 5.23598775598299
x17=−45.0294947014537x_{17} = -45.0294947014537
x18=577.005850709325x_{18} = 577.005850709325
x19=−1.0471975511966x_{19} = -1.0471975511966
x20=−57.5958653158129x_{20} = -57.5958653158129
x21=42.9350995990605x_{21} = 42.9350995990605
x22=86.9173967493176x_{22} = 86.9173967493176
x23=−89.0117918517108x_{23} = -89.0117918517108
x24=−38.7463093942741x_{24} = -38.7463093942741
x25=55.5014702134197x_{25} = 55.5014702134197
x26=−51.3126800086333x_{26} = -51.3126800086333
x27=68.0678408277789x_{27} = 68.0678408277789
x28=−76.4454212373516x_{28} = -76.4454212373516
x29=−63.8790506229925x_{29} = -63.8790506229925
x30=−824.144472791722x_{30} = -824.144472791722
x31=61.7846555205993x_{31} = 61.7846555205993
x32=275.412955964705x_{32} = 275.412955964705
x33=−202.109127380943x_{33} = -202.109127380943
x34=74.3510261349584x_{34} = 74.3510261349584
x35=−70.162235930172x_{35} = -70.162235930172
x36=93.2005820564972x_{36} = 93.2005820564972
x37=−290.073721681458x_{37} = -290.073721681458
x38=−82.7286065445312x_{38} = -82.7286065445312
x39=30.3687289847013x_{39} = 30.3687289847013
x40=162.315620435473x_{40} = 162.315620435473
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/2 + pi/6)/2.
sin⁡(02+π6)2\frac{\sin{\left(\frac{0}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=14f{\left(0 \right)} = \frac{1}{4}
Punto:
(0, 1/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x2+π6)4=0\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=8π3x_{2} = \frac{8 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
          /pi   pi\ 
       sin|-- + --| 
 2*pi     \3    6 / 
(----, ------------)
  3         2       

           /pi   pi\  
       -sin|-- + --|  
 8*pi      \3    6 /  
(----, --------------)
  3          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=8π3x_{1} = \frac{8 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,2π3]∪[8π3,∞)\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{8 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2π3,8π3]\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(3x+π6)8=0- \frac{\sin{\left(\frac{3 x + \pi}{6} \right)}}{8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π3]∪[5π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π3,5π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2+π6)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x2+π6)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/2 + pi/6)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2+π6)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x2+π6)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x2+π6)2=−sin⁡(x2−π6)2\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)}}{2}
- No
sin⁡(x2+π6)2=sin⁡(x2−π6)2\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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