Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-3)/(x^2-8)
-
x^4-2*x^3+1
-
x^4-2*x^3+5
-
x^4/4-2*x^2+1
-
Expresiones idénticas
- (uno /x-cos(dos *x)/ dos +sin(dos *x)/(cuatro *x))/x
- (1 dividir por x menos coseno de (2 multiplicar por x) dividir por 2 más seno de (2 multiplicar por x) dividir por (4 multiplicar por x)) dividir por x
- (uno dividir por x menos coseno de (dos multiplicar por x) dividir por dos más seno de (dos multiplicar por x) dividir por (cuatro multiplicar por x)) dividir por x
- (1/x-cos(2x)/2+sin(2x)/(4x))/x
- 1/x-cos2x/2+sin2x/4x/x
- (1 dividir por x-cos(2*x) dividir por 2+sin(2*x) dividir por (4*x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (1/x-cos(2*x)/2-sin(2*x)/(4*x))/x
- (1/x+cos(2*x)/2+sin(2*x)/(4*x))/x
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(1)/((3*x))
- cos(arccotg√3x^5)
- cos(-2*pi+6*x)
- cos(x)-(1+2x^2)^(1/4)
- cos(x-1)-3
- Seno sin
- sin(2*x)/4
- sin(3)^3*x
- sin(2*x)^log(1-x)
- sin(0,5t+0,4)
- sin(2*x)*cos(x)-x
Gráfico de la función y = (1/x-cos(2*x)/2+sin(2*x)/(4*x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
1 cos(2*x) sin(2*x)
- - -------- + --------
x 2 4*x
f(x) = -----------------------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x}$$
f = (-cos(2*x)/2 + 1/x + sin(2*x)/((4*x)))/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 8.72619422265326$$
$$x_{2} = 60.4549796799439$$
$$x_{3} = -1742.79780734131$$
$$x_{4} = -66.7700783554498$$
$$x_{5} = -55.740841383413$$
$$x_{6} = 19.5710142978955$$
$$x_{7} = -98.1824098619633$$
$$x_{8} = 30.6550137530558$$
$$x_{9} = -19.6731513146712$$
$$x_{10} = 16.4171027874852$$
$$x_{11} = 52.6359296294137$$
$$x_{12} = 84.0465280598053$$
$$x_{13} = 55.7767193149543$$
$$x_{14} = -16.5388343760146$$
$$x_{15} = -38.5039983683531$$
$$x_{16} = 33.7943286954496$$
$$x_{17} = 27.5162194315066$$
$$x_{18} = -99.7330327661178$$
$$x_{19} = 118.601446710494$$
$$x_{20} = -82.4759017249419$$
$$x_{21} = 54.1693942345327$$
$$x_{22} = 11.8446349868508$$
$$x_{23} = 99.7530858826585$$
$$x_{24} = 69.8825478601574$$
$$x_{25} = -93.4490045264708$$
$$x_{26} = 76.1672094088811$$
$$x_{27} = -11.673560883004$$
$$x_{28} = 24.3781472626533$$
$$x_{29} = 74.622877413955$$
$$x_{30} = 41.5960444811736$$
$$x_{31} = -10.283633394979$$
$$x_{32} = -25.9470766653214$$
$$x_{33} = -195.567977744835$$
$$x_{34} = 47.8831780180261$$
$$x_{35} = 88.7359049740554$$
$$x_{36} = 18.1056765047937$$
$$x_{37} = 85.5937951172198$$
$$x_{38} = 10.0857212992555$$
$$x_{39} = -49.4548043817826$$
$$x_{40} = 46.3546768894919$$
$$x_{41} = -63.6290404903586$$
$$x_{42} = -32.2246156702334$$
$$x_{43} = 90.3290925268889$$
$$x_{44} = 77.7640639305187$$
$$x_{45} = 22.7214881738254$$
$$x_{46} = -13.4079414092789$$
$$x_{47} = -41.644120201805$$
$$x_{48} = -46.3114952533493$$
$$x_{49} = -17.9946025763549$$
$$x_{50} = -69.911166089174$$
$$x_{51} = 44.739750131955$$
$$x_{52} = 68.3406164186348$$
$$x_{53} = 49.4952419080938$$
$$x_{54} = -71.4537376045277$$
$$x_{55} = 38.4519927657388$$
$$x_{56} = -33.7350539916514$$
$$x_{57} = -62.0262999830841$$
$$x_{58} = 96.6117377536618$$
$$x_{59} = 32.1624438100378$$
$$x_{60} = 91.877979444848$$
$$x_{61} = -85.6171606329049$$
$$x_{62} = 63.597594378$$
$$x_{63} = 5.63423107840289$$
$$x_{64} = -27.4433621017629$$
$$x_{65} = 82.4516458264616$$
$$x_{66} = -77.7383374849985$$
$$x_{67} = -5.25611710452091$$
$$x_{68} = 25.8697903173358$$
$$x_{69} = -47.9249425523122$$
$$x_{70} = 98.1620358267076$$
$$x_{71} = -84.0227256777448$$
$$x_{72} = -60.4880602656373$$
$$x_{73} = -68.3113400086534$$
$$x_{74} = -4.11811474136994$$
$$x_{75} = 66.7401127700139$$
$$x_{76} = -24.2958575333442$$
$$x_{77} = -76.193466485257$$
$$x_{78} = -40.0240669914303$$
$$x_{79} = 3.56251728108996$$
$$x_{80} = 40.0740304454495$$
$$x_{81} = -35.3641380142596$$
$$x_{82} = -91.8997469094742$$
$$x_{83} = -90.3069464017371$$
$$x_{84} = -79.3346692522771$$
$$x_{85} = -57.3471471564174$$
$$x_{86} = 62.0585426257329$$
$$x_{87} = -54.2063128349636$$
$$x_{88} = 2.67636710153477$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 8.72619422265326$$
$$x_{2} = 60.4549796799439$$
$$x_{3} = -1742.79780734131$$
$$x_{4} = -66.7700783554498$$
$$x_{5} = -55.740841383413$$
$$x_{6} = 19.5710142978955$$
$$x_{7} = -98.1824098619633$$
$$x_{8} = 30.6550137530558$$
$$x_{9} = -19.6731513146712$$
$$x_{10} = 16.4171027874852$$
$$x_{11} = 52.6359296294137$$
$$x_{12} = 84.0465280598053$$
$$x_{13} = 55.7767193149543$$
$$x_{14} = -16.5388343760146$$
$$x_{15} = -38.5039983683531$$
$$x_{16} = 33.7943286954496$$
$$x_{17} = 27.5162194315066$$
$$x_{18} = -99.7330327661178$$
$$x_{19} = 118.601446710494$$
$$x_{20} = -82.4759017249419$$
$$x_{21} = 54.1693942345327$$
$$x_{22} = 11.8446349868508$$
$$x_{23} = 99.7530858826585$$
$$x_{24} = 69.8825478601574$$
$$x_{25} = -93.4490045264708$$
$$x_{26} = 76.1672094088811$$
$$x_{27} = -11.673560883004$$
$$x_{28} = 24.3781472626533$$
$$x_{29} = 74.622877413955$$
$$x_{30} = 41.5960444811736$$
$$x_{31} = -10.283633394979$$
$$x_{32} = -25.9470766653214$$
$$x_{33} = -195.567977744835$$
$$x_{34} = 47.8831780180261$$
$$x_{35} = 88.7359049740554$$
$$x_{36} = 18.1056765047937$$
$$x_{37} = 85.5937951172198$$
$$x_{38} = 10.0857212992555$$
$$x_{39} = -49.4548043817826$$
$$x_{40} = 46.3546768894919$$
$$x_{41} = -63.6290404903586$$
$$x_{42} = -32.2246156702334$$
$$x_{43} = 90.3290925268889$$
$$x_{44} = 77.7640639305187$$
$$x_{45} = 22.7214881738254$$
$$x_{46} = -13.4079414092789$$
$$x_{47} = -41.644120201805$$
$$x_{48} = -46.3114952533493$$
$$x_{49} = -17.9946025763549$$
$$x_{50} = -69.911166089174$$
$$x_{51} = 44.739750131955$$
$$x_{52} = 68.3406164186348$$
$$x_{53} = 49.4952419080938$$
$$x_{54} = -71.4537376045277$$
$$x_{55} = 38.4519927657388$$
$$x_{56} = -33.7350539916514$$
$$x_{57} = -62.0262999830841$$
$$x_{58} = 96.6117377536618$$
$$x_{59} = 32.1624438100378$$
$$x_{60} = 91.877979444848$$
$$x_{61} = -85.6171606329049$$
$$x_{62} = 63.597594378$$
$$x_{63} = 5.63423107840289$$
$$x_{64} = -27.4433621017629$$
$$x_{65} = 82.4516458264616$$
$$x_{66} = -77.7383374849985$$
$$x_{67} = -5.25611710452091$$
$$x_{68} = 25.8697903173358$$
$$x_{69} = -47.9249425523122$$
$$x_{70} = 98.1620358267076$$
$$x_{71} = -84.0227256777448$$
$$x_{72} = -60.4880602656373$$
$$x_{73} = -68.3113400086534$$
$$x_{74} = -4.11811474136994$$
$$x_{75} = 66.7401127700139$$
$$x_{76} = -24.2958575333442$$
$$x_{77} = -76.193466485257$$
$$x_{78} = -40.0240669914303$$
$$x_{79} = 3.56251728108996$$
$$x_{80} = 40.0740304454495$$
$$x_{81} = -35.3641380142596$$
$$x_{82} = -91.8997469094742$$
$$x_{83} = -90.3069464017371$$
$$x_{84} = -79.3346692522771$$
$$x_{85} = -57.3471471564174$$
$$x_{86} = 62.0585426257329$$
$$x_{87} = -54.2063128349636$$
$$x_{88} = 2.67636710153477$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \frac{1}{4 x} \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x} - \frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \frac{1}{4 x} \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x} - \frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}}{2 x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{4}{x}}{2 x^{2}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 55.7498068994289$$
$$x_{2} = -79.315755244289$$
$$x_{3} = -40.036593926181$$
$$x_{4} = -113.876146447117$$
$$x_{5} = -25.8890723239041$$
$$x_{6} = -41.6080538708523$$
$$x_{7} = 11.7159041119624$$
$$x_{8} = 19.5968571662018$$
$$x_{9} = -19.5964573591633$$
$$x_{10} = -55.7498242194411$$
$$x_{11} = -2.15139118434248$$
$$x_{12} = 25.8892455037473$$
$$x_{13} = 84.0286751146199$$
$$x_{14} = -46.3223139458479$$
$$x_{15} = 62.0343577643636$$
$$x_{16} = -18.0227681212013$$
$$x_{17} = -63.6054532348249$$
$$x_{18} = -8.55380470059007$$
$$x_{19} = 54.1786384339847$$
$$x_{20} = -32.1779661540072$$
$$x_{21} = 47.8936402166729$$
$$x_{22} = -99.7380483764107$$
$$x_{23} = -62.0343703348257$$
$$x_{24} = -98.1671286088403$$
$$x_{25} = 88.7415428324899$$
$$x_{26} = -35.3216456071356$$
$$x_{27} = 98.1671317804057$$
$$x_{28} = 99.7380453523688$$
$$x_{29} = 76.1737789114432$$
$$x_{30} = 32.1780562936689$$
$$x_{31} = 10.1374563407411$$
$$x_{32} = -91.8834204248154$$
$$x_{33} = -38.4649820916831$$
$$x_{34} = -47.8936128953851$$
$$x_{35} = -11.71778460335$$
$$x_{36} = 68.3186569554319$$
$$x_{37} = -84.0286801717936$$
$$x_{38} = 38.4650348455348$$
$$x_{39} = 91.8834242926477$$
$$x_{40} = -82.457708574954$$
$$x_{41} = 44.750950540251$$
$$x_{42} = -68.3186663658279$$
$$x_{43} = -52.6074294218921$$
$$x_{44} = -90.3124860730044$$
$$x_{45} = 66.7476119456012$$
$$x_{46} = 33.7498547945958$$
$$x_{47} = 60.4632602929397$$
$$x_{48} = 49.4649080845061$$
$$x_{49} = 52.6074088081489$$
$$x_{50} = 79.3157612576944$$
$$x_{51} = 77.7447676334923$$
$$x_{52} = 46.3222837478096$$
$$x_{53} = 8.54893189436134$$
$$x_{54} = 74.6027682119395$$
$$x_{55} = 40.0365471466763$$
$$x_{56} = -54.1786195626021$$
$$x_{57} = 3.75249533512322$$
$$x_{58} = 30.6059644560107$$
$$x_{59} = 63.6054648964445$$
$$x_{60} = 82.4577139267468$$
$$x_{61} = -69.8897004038127$$
$$x_{62} = -5.3666107451101$$
$$x_{63} = -57.3209727506918$$
$$x_{64} = 16.448058604092$$
$$x_{65} = -13.294635061779$$
$$x_{66} = -27.4616883419788$$
$$x_{67} = 85.5996401839158$$
$$x_{68} = -76.1737721227056$$
$$x_{69} = -3.68889319365167$$
$$x_{70} = -10.1345434865614$$
$$x_{71} = -93.4543577444535$$
$$x_{72} = 41.6080955453863$$
$$x_{73} = 90.3124819997851$$
$$x_{74} = -16.4473815613718$$
$$x_{75} = 24.3163822046903$$
$$x_{76} = -49.4649328832147$$
$$x_{77} = 22.7436821701907$$
$$x_{78} = -24.3165912528243$$
$$x_{79} = -85.5996354001252$$
$$x_{80} = -60.463246716672$$
$$x_{81} = 18.0222538601319$$
$$x_{82} = -77.7447740188986$$
$$x_{83} = -33.7499329093889$$
$$x_{84} = 96.5962079456033$$
$$x_{85} = 69.8897091936671$$
$$x_{86} = -71.4607411928288$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}}{2 x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{4}{x}}{2 x^{2}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}}{2 x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{4}{x}}{2 x^{2}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[99.7380453523688, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.7380483764107\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}}{2 x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{4}{x}}{2 x^{2}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 55.7498068994289$$
$$x_{2} = -79.315755244289$$
$$x_{3} = -40.036593926181$$
$$x_{4} = -113.876146447117$$
$$x_{5} = -25.8890723239041$$
$$x_{6} = -41.6080538708523$$
$$x_{7} = 11.7159041119624$$
$$x_{8} = 19.5968571662018$$
$$x_{9} = -19.5964573591633$$
$$x_{10} = -55.7498242194411$$
$$x_{11} = -2.15139118434248$$
$$x_{12} = 25.8892455037473$$
$$x_{13} = 84.0286751146199$$
$$x_{14} = -46.3223139458479$$
$$x_{15} = 62.0343577643636$$
$$x_{16} = -18.0227681212013$$
$$x_{17} = -63.6054532348249$$
$$x_{18} = -8.55380470059007$$
$$x_{19} = 54.1786384339847$$
$$x_{20} = -32.1779661540072$$
$$x_{21} = 47.8936402166729$$
$$x_{22} = -99.7380483764107$$
$$x_{23} = -62.0343703348257$$
$$x_{24} = -98.1671286088403$$
$$x_{25} = 88.7415428324899$$
$$x_{26} = -35.3216456071356$$
$$x_{27} = 98.1671317804057$$
$$x_{28} = 99.7380453523688$$
$$x_{29} = 76.1737789114432$$
$$x_{30} = 32.1780562936689$$
$$x_{31} = 10.1374563407411$$
$$x_{32} = -91.8834204248154$$
$$x_{33} = -38.4649820916831$$
$$x_{34} = -47.8936128953851$$
$$x_{35} = -11.71778460335$$
$$x_{36} = 68.3186569554319$$
$$x_{37} = -84.0286801717936$$
$$x_{38} = 38.4650348455348$$
$$x_{39} = 91.8834242926477$$
$$x_{40} = -82.457708574954$$
$$x_{41} = 44.750950540251$$
$$x_{42} = -68.3186663658279$$
$$x_{43} = -52.6074294218921$$
$$x_{44} = -90.3124860730044$$
$$x_{45} = 66.7476119456012$$
$$x_{46} = 33.7498547945958$$
$$x_{47} = 60.4632602929397$$
$$x_{48} = 49.4649080845061$$
$$x_{49} = 52.6074088081489$$
$$x_{50} = 79.3157612576944$$
$$x_{51} = 77.7447676334923$$
$$x_{52} = 46.3222837478096$$
$$x_{53} = 8.54893189436134$$
$$x_{54} = 74.6027682119395$$
$$x_{55} = 40.0365471466763$$
$$x_{56} = -54.1786195626021$$
$$x_{57} = 3.75249533512322$$
$$x_{58} = 30.6059644560107$$
$$x_{59} = 63.6054648964445$$
$$x_{60} = 82.4577139267468$$
$$x_{61} = -69.8897004038127$$
$$x_{62} = -5.3666107451101$$
$$x_{63} = -57.3209727506918$$
$$x_{64} = 16.448058604092$$
$$x_{65} = -13.294635061779$$
$$x_{66} = -27.4616883419788$$
$$x_{67} = 85.5996401839158$$
$$x_{68} = -76.1737721227056$$
$$x_{69} = -3.68889319365167$$
$$x_{70} = -10.1345434865614$$
$$x_{71} = -93.4543577444535$$
$$x_{72} = 41.6080955453863$$
$$x_{73} = 90.3124819997851$$
$$x_{74} = -16.4473815613718$$
$$x_{75} = 24.3163822046903$$
$$x_{76} = -49.4649328832147$$
$$x_{77} = 22.7436821701907$$
$$x_{78} = -24.3165912528243$$
$$x_{79} = -85.5996354001252$$
$$x_{80} = -60.463246716672$$
$$x_{81} = 18.0222538601319$$
$$x_{82} = -77.7447740188986$$
$$x_{83} = -33.7499329093889$$
$$x_{84} = 96.5962079456033$$
$$x_{85} = 69.8897091936671$$
$$x_{86} = -71.4607411928288$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}}{2 x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{4}{x}}{2 x^{2}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}}{2 x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{4}{x}}{2 x^{2}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[99.7380453523688, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.7380483764107\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1/x - cos(2*x)/2 + sin(2*x)/((4*x)))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x} = - \frac{- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x} - \frac{1}{x}}{x}$$
- No
$$\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x} = \frac{- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x} - \frac{1}{x}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x} = - \frac{- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x} - \frac{1}{x}}{x}$$
- No
$$\frac{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}}{x} = \frac{- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x} - \frac{1}{x}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar