Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x-pi/3)

Gráfico de la función y = sin(x-pi/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
f(x) = sin|x - --|
          \    3 /
f(x)=sin⁡(x−π3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} 
f = sin(x - pi/3)
Gráfico de la función
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.02-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x−π3)=0\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Solución numérica
x1=89.0117918517108x_{1} = 89.0117918517108
x2=−93.2005820564972x_{2} = -93.2005820564972
x3=−55.5014702134197x_{3} = -55.5014702134197
x4=−36.6519142918809x_{4} = -36.6519142918809
x5=−30.3687289847013x_{5} = -30.3687289847013
x6=−68.0678408277789x_{6} = -68.0678408277789
x7=4.18879020478639x_{7} = 4.18879020478639
x8=51.3126800086333x_{8} = 51.3126800086333
x9=32.4631240870945x_{9} = 32.4631240870945
x10=−96.342174710087x_{10} = -96.342174710087
x11=−14.6607657167524x_{11} = -14.6607657167524
x12=85.870199198121x_{12} = 85.870199198121
x13=63.8790506229925x_{13} = 63.8790506229925
x14=−42.9350995990605x_{14} = -42.9350995990605
x15=7.33038285837618x_{15} = 7.33038285837618
x16=82.7286065445312x_{16} = 82.7286065445312
x17=29.3215314335047x_{17} = 29.3215314335047
x18=19.8967534727354x_{18} = 19.8967534727354
x19=95.2949771588904x_{19} = 95.2949771588904
x20=−71.2094334813686x_{20} = -71.2094334813686
x21=98.4365698124802x_{21} = 98.4365698124802
x22=−64.9262481741891x_{22} = -64.9262481741891
x23=−46.0766922526503x_{23} = -46.0766922526503
x24=−24.0855436775217x_{24} = -24.0855436775217
x25=−33.5103216382911x_{25} = -33.5103216382911
x26=−58.6430628670095x_{26} = -58.6430628670095
x27=54.4542726622231x_{27} = 54.4542726622231
x28=73.3038285837618x_{28} = 73.3038285837618
x29=−20.943951023932x_{29} = -20.943951023932
x30=16.7551608191456x_{30} = 16.7551608191456
x31=−90.0589894029074x_{31} = -90.0589894029074
x32=13.6135681655558x_{32} = 13.6135681655558
x33=35.6047167406843x_{33} = 35.6047167406843
x34=−99.4837673636768x_{34} = -99.4837673636768
x35=45.0294947014537x_{35} = 45.0294947014537
x36=−5644.39480094966x_{36} = -5644.39480094966
x37=−27.2271363311115x_{37} = -27.2271363311115
x38=67.0206432765823x_{38} = 67.0206432765823
x39=92.1533845053006x_{39} = 92.1533845053006
x40=23.0383461263252x_{40} = 23.0383461263252
x41=60.7374579694027x_{41} = 60.7374579694027
x42=10.471975511966x_{42} = 10.471975511966
x43=−5.23598775598299x_{43} = -5.23598775598299
x44=−86.9173967493176x_{44} = -86.9173967493176
x45=−2.0943951023932x_{45} = -2.0943951023932
x46=41.8879020478639x_{46} = 41.8879020478639
x47=−11.5191730631626x_{47} = -11.5191730631626
x48=−74.3510261349584x_{48} = -74.3510261349584
x49=26.1799387799149x_{49} = 26.1799387799149
x50=−83.7758040957278x_{50} = -83.7758040957278
x51=1.0471975511966x_{51} = 1.0471975511966
x52=−17.8023583703422x_{52} = -17.8023583703422
x53=79.5870138909414x_{53} = 79.5870138909414
x54=70.162235930172x_{54} = 70.162235930172
x55=−8.37758040957278x_{55} = -8.37758040957278
x56=−61.7846555205993x_{56} = -61.7846555205993
x57=38.7463093942741x_{57} = 38.7463093942741
x58=76.4454212373516x_{58} = 76.4454212373516
x59=−52.3598775598299x_{59} = -52.3598775598299
x60=−39.7935069454707x_{60} = -39.7935069454707
x61=−77.4926187885482x_{61} = -77.4926187885482
x62=−80.634211442138x_{62} = -80.634211442138
x63=104.71975511966x_{63} = 104.71975511966
x64=48.1710873550435x_{64} = 48.1710873550435
x65=57.5958653158129x_{65} = 57.5958653158129
x66=−49.2182849062401x_{66} = -49.2182849062401
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x - pi/3).
sin⁡(−π3)\sin{\left(- \frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=−32f{\left(0 \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, -sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x−π3)=0\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi       /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  6        \6    3 / 

 5*pi     /pi   pi\ 
(----, cos|-- - --|)
  6       \3    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(x+π6)=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x−π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x−π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x - pi/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x−π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x−π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x−π3)=−sin⁡(x+π3)\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = - \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}
- No
sin⁡(x−π3)=sin⁡(x+π3)\sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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