Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x+pi/3)

Gráfico de la función y = sin(x+pi/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
f(x) = sin|x + --|
          \    3 /
f(x)=sin⁡(x+π3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} 
f = sin(x + pi/3)
Gráfico de la función
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.802
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x+π3)=0\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Solución numérica
x1=39.7935069454707x_{1} = 39.7935069454707
x2=11.5191730631626x_{2} = 11.5191730631626
x3=71.2094334813686x_{3} = 71.2094334813686
x4=−4939.63084899435x_{4} = -4939.63084899435
x5=−98.4365698124802x_{5} = -98.4365698124802
x6=−85.870199198121x_{6} = -85.870199198121
x7=−51.3126800086333x_{7} = -51.3126800086333
x8=36.6519142918809x_{8} = 36.6519142918809
x9=14.6607657167524x_{9} = 14.6607657167524
x10=−70.162235930172x_{10} = -70.162235930172
x11=93.2005820564972x_{11} = 93.2005820564972
x12=−95.2949771588904x_{12} = -95.2949771588904
x13=49.2182849062401x_{13} = 49.2182849062401
x14=30.3687289847013x_{14} = 30.3687289847013
x15=−29.3215314335047x_{15} = -29.3215314335047
x16=17.8023583703422x_{16} = 17.8023583703422
x17=−41.8879020478639x_{17} = -41.8879020478639
x18=−32.4631240870945x_{18} = -32.4631240870945
x19=−92.1533845053006x_{19} = -92.1533845053006
x20=42.9350995990605x_{20} = 42.9350995990605
x21=77.4926187885482x_{21} = 77.4926187885482
x22=46.0766922526503x_{22} = 46.0766922526503
x23=−54.4542726622231x_{23} = -54.4542726622231
x24=96.342174710087x_{24} = 96.342174710087
x25=−26.1799387799149x_{25} = -26.1799387799149
x26=8.37758040957278x_{26} = 8.37758040957278
x27=−76.4454212373516x_{27} = -76.4454212373516
x28=102.625360017267x_{28} = 102.625360017267
x29=−16.7551608191456x_{29} = -16.7551608191456
x30=−1.0471975511966x_{30} = -1.0471975511966
x31=−79.5870138909414x_{31} = -79.5870138909414
x32=52.3598775598299x_{32} = 52.3598775598299
x33=20.943951023932x_{33} = 20.943951023932
x34=−10.471975511966x_{34} = -10.471975511966
x35=55.5014702134197x_{35} = 55.5014702134197
x36=33.5103216382911x_{36} = 33.5103216382911
x37=27.2271363311115x_{37} = 27.2271363311115
x38=83.7758040957278x_{38} = 83.7758040957278
x39=68.0678408277789x_{39} = 68.0678408277789
x40=−23.0383461263252x_{40} = -23.0383461263252
x41=−60.7374579694027x_{41} = -60.7374579694027
x42=−19.8967534727354x_{42} = -19.8967534727354
x43=−82.7286065445312x_{43} = -82.7286065445312
x44=74.3510261349584x_{44} = 74.3510261349584
x45=−35.6047167406843x_{45} = -35.6047167406843
x46=−38.7463093942741x_{46} = -38.7463093942741
x47=80.634211442138x_{47} = 80.634211442138
x48=99.4837673636768x_{48} = 99.4837673636768
x49=−45.0294947014537x_{49} = -45.0294947014537
x50=−48.1710873550435x_{50} = -48.1710873550435
x51=−73.3038285837618x_{51} = -73.3038285837618
x52=64.9262481741891x_{52} = 64.9262481741891
x53=−57.5958653158129x_{53} = -57.5958653158129
x54=−4.18879020478639x_{54} = -4.18879020478639
x55=−63.8790506229925x_{55} = -63.8790506229925
x56=5.23598775598299x_{56} = 5.23598775598299
x57=−89.0117918517108x_{57} = -89.0117918517108
x58=−154.985237577096x_{58} = -154.985237577096
x59=−13.6135681655558x_{59} = -13.6135681655558
x60=58.6430628670095x_{60} = 58.6430628670095
x61=86.9173967493176x_{61} = 86.9173967493176
x62=2.0943951023932x_{62} = 2.0943951023932
x63=90.0589894029074x_{63} = 90.0589894029074
x64=24.0855436775217x_{64} = 24.0855436775217
x65=61.7846555205993x_{65} = 61.7846555205993
x66=−67.0206432765823x_{66} = -67.0206432765823
x67=−7.33038285837618x_{67} = -7.33038285837618
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x + pi/3).
sin⁡(π3)\sin{\left(\frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x+π3)=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=7π6x_{2} = \frac{7 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     /pi   pi\ 
(--, sin|-- + --|)
 6      \6    3 / 

 7*pi      /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  6        \6    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=7π6x_{1} = \frac{7 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,π6]∪[7π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π6,7π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π3)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π3]∪[2π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π3,2π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x+π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x+π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x + pi/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x+π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x+π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x+π3)=−sin⁡(x−π3)\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = - \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}
- No
sin⁡(x+π3)=sin⁡(x−π3)\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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