Sr Examen

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3*sin(x)/2
Trazado el gráfico de la función/ 3*sin(x)/2

Gráfico de la función y = 3*sin(x)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3*sin(x)
f(x) = --------
          2
f(x)=3sin⁡(x)2f{\left(x \right)} = \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2} 
f = (3*sin(x))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)2=0\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=−62.8318530717959x_{2} = -62.8318530717959
x3=−97.3893722612836x_{3} = -97.3893722612836
x4=87.9645943005142x_{4} = 87.9645943005142
x5=−56.5486677646163x_{5} = -56.5486677646163
x6=31.4159265358979x_{6} = 31.4159265358979
x7=69.1150383789755x_{7} = 69.1150383789755
x8=−37.6991118430775x_{8} = -37.6991118430775
x9=−81.6814089933346x_{9} = -81.6814089933346
x10=−84.8230016469244x_{10} = -84.8230016469244
x11=−21.9911485751286x_{11} = -21.9911485751286
x12=47.1238898038469x_{12} = 47.1238898038469
x13=−113.097335529233x_{13} = -113.097335529233
x14=−12.5663706143592x_{14} = -12.5663706143592
x15=−15.707963267949x_{15} = -15.707963267949
x16=12.5663706143592x_{16} = 12.5663706143592
x17=−87.9645943005142x_{17} = -87.9645943005142
x18=53.4070751110265x_{18} = 53.4070751110265
x19=−267.035375555132x_{19} = -267.035375555132
x20=−100.530964914873x_{20} = -100.530964914873
x21=−3.14159265358979x_{21} = -3.14159265358979
x22=72.2566310325652x_{22} = 72.2566310325652
x23=34.5575191894877x_{23} = 34.5575191894877
x24=−94.2477796076938x_{24} = -94.2477796076938
x25=6.28318530717959x_{25} = 6.28318530717959
x26=−69.1150383789755x_{26} = -69.1150383789755
x27=97.3893722612836x_{27} = 97.3893722612836
x28=0x_{28} = 0
x29=65.9734457253857x_{29} = 65.9734457253857
x30=−50.2654824574367x_{30} = -50.2654824574367
x31=15.707963267949x_{31} = 15.707963267949
x32=3.14159265358979x_{32} = 3.14159265358979
x33=−25.1327412287183x_{33} = -25.1327412287183
x34=−18.8495559215388x_{34} = -18.8495559215388
x35=40.8407044966673x_{35} = 40.8407044966673
x36=−53.4070751110265x_{36} = -53.4070751110265
x37=37.6991118430775x_{37} = 37.6991118430775
x38=−43.9822971502571x_{38} = -43.9822971502571
x39=18.8495559215388x_{39} = 18.8495559215388
x40=−78.5398163397448x_{40} = -78.5398163397448
x41=−6.28318530717959x_{41} = -6.28318530717959
x42=−232.477856365645x_{42} = -232.477856365645
x43=−40.8407044966673x_{43} = -40.8407044966673
x44=43.9822971502571x_{44} = 43.9822971502571
x45=56.5486677646163x_{45} = 56.5486677646163
x46=−65.9734457253857x_{46} = -65.9734457253857
x47=−28.2743338823081x_{47} = -28.2743338823081
x48=78.5398163397448x_{48} = 78.5398163397448
x49=25.1327412287183x_{49} = 25.1327412287183
x50=75.398223686155x_{50} = 75.398223686155
x51=59.6902604182061x_{51} = 59.6902604182061
x52=−34.5575191894877x_{52} = -34.5575191894877
x53=81.6814089933346x_{53} = 81.6814089933346
x54=−47.1238898038469x_{54} = -47.1238898038469
x55=100.530964914873x_{55} = 100.530964914873
x56=−9.42477796076938x_{56} = -9.42477796076938
x57=−75.398223686155x_{57} = -75.398223686155
x58=−72.2566310325652x_{58} = -72.2566310325652
x59=−31.4159265358979x_{59} = -31.4159265358979
x60=28.2743338823081x_{60} = 28.2743338823081
x61=−91.106186954104x_{61} = -91.106186954104
x62=21.9911485751286x_{62} = 21.9911485751286
x63=62.8318530717959x_{63} = 62.8318530717959
x64=9.42477796076938x_{64} = 9.42477796076938
x65=50.2654824574367x_{65} = 50.2654824574367
x66=94.2477796076938x_{66} = 94.2477796076938
x67=91.106186954104x_{67} = 91.106186954104
x68=84.8230016469244x_{68} = 84.8230016469244
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*sin(x))/2.
3sin⁡(0)2\frac{3 \sin{\left(0 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3cos⁡(x)2=0\frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi      
(--, 3/2)
 2       

 3*pi       
(----, -3/2)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3sin⁡(x)2=0- \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*sin(x))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)2=−3sin⁡(x)2\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2} = - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2}
- No
3sin⁡(x)2=3sin⁡(x)2\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2} = \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*sin(x)/2
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