Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(x/2)

Gráfico de la función y = 2*sin(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x\
f(x) = 2*sin|-|
            \2/
f(x)=2sin⁡(x2)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = 2*sin(x/2)
Gráfico de la función
-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.05-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x2)=02 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Solución numérica
x1=12.5663706143592x_{1} = 12.5663706143592
x2=37.6991118430775x_{2} = 37.6991118430775
x3=−31.4159265358979x_{3} = -31.4159265358979
x4=0x_{4} = 0
x5=−50.2654824574367x_{5} = -50.2654824574367
x6=−94.2477796076938x_{6} = -94.2477796076938
x7=6.28318530717959x_{7} = 6.28318530717959
x8=69.1150383789755x_{8} = 69.1150383789755
x9=−69.1150383789755x_{9} = -69.1150383789755
x10=62.8318530717959x_{10} = 62.8318530717959
x11=50.2654824574367x_{11} = 50.2654824574367
x12=81.6814089933346x_{12} = 81.6814089933346
x13=100.530964914873x_{13} = 100.530964914873
x14=−87.9645943005142x_{14} = -87.9645943005142
x15=−62.8318530717959x_{15} = -62.8318530717959
x16=−18.8495559215388x_{16} = -18.8495559215388
x17=−56.5486677646163x_{17} = -56.5486677646163
x18=−37.6991118430775x_{18} = -37.6991118430775
x19=−25.1327412287183x_{19} = -25.1327412287183
x20=−100.530964914873x_{20} = -100.530964914873
x21=−75.398223686155x_{21} = -75.398223686155
x22=18.8495559215388x_{22} = 18.8495559215388
x23=−6.28318530717959x_{23} = -6.28318530717959
x24=25.1327412287183x_{24} = 25.1327412287183
x25=56.5486677646163x_{25} = 56.5486677646163
x26=−43.9822971502571x_{26} = -43.9822971502571
x27=−226.194671058465x_{27} = -226.194671058465
x28=31.4159265358979x_{28} = 31.4159265358979
x29=94.2477796076938x_{29} = 94.2477796076938
x30=−106.814150222053x_{30} = -106.814150222053
x31=−12.5663706143592x_{31} = -12.5663706143592
x32=75.398223686155x_{32} = 75.398223686155
x33=−81.6814089933346x_{33} = -81.6814089933346
x34=43.9822971502571x_{34} = 43.9822971502571
x35=87.9645943005142x_{35} = 87.9645943005142
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x/2).
2sin⁡(02)2 \sin{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x2)=0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(pi, 2)

(3*pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x2)2=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x2))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x2))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x2)=−2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
2sin⁡(x2)=2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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