Sr Examen

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1-cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ 1-cos(x)

Gráfico de la función y = 1-cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 1 - cos(x)
f(x)=1−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)} 
f = 1 - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−cos⁡(x)=01 - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Solución numérica
x1=−69.1150379045123x_{1} = -69.1150379045123
x2=−75.3982231720141x_{2} = -75.3982231720141
x3=100.530965157364x_{3} = 100.530965157364
x4=−69.1150386869085x_{4} = -69.1150386869085
x5=−31.4159260208155x_{5} = -31.4159260208155
x6=94.2477800892631x_{6} = 94.2477800892631
x7=75.3982240031607x_{7} = 75.3982240031607
x8=−37.6991113479743x_{8} = -37.6991113479743
x9=81.6814091897036x_{9} = 81.6814091897036
x10=43.9822974733639x_{10} = 43.9822974733639
x11=12.5663711301703x_{11} = 12.5663711301703
x12=87.9645938121814x_{12} = 87.9645938121814
x13=−56.5486674685864x_{13} = -56.5486674685864
x14=−6.28318555849548x_{14} = -6.28318555849548
x15=−25.1327415297174x_{15} = -25.1327415297174
x16=−87.9645943586158x_{16} = -87.9645943586158
x17=6.28318500093652x_{17} = 6.28318500093652
x18=−37.6991121287155x_{18} = -37.6991121287155
x19=6.28318626747926x_{19} = 6.28318626747926
x20=25.1327416384075x_{20} = 25.1327416384075
x21=37.6991115173992x_{21} = 37.6991115173992
x22=−81.6814090382277x_{22} = -81.6814090382277
x23=37.6991120311338x_{23} = 37.6991120311338
x24=56.5486676011951x_{24} = 56.5486676011951
x25=25.1327408328211x_{25} = 25.1327408328211
x26=−43.9822971745392x_{26} = -43.9822971745392
x27=56.5486682809363x_{27} = 56.5486682809363
x28=87.964594335905x_{28} = 87.964594335905
x29=0x_{29} = 0
x30=31.4159260648825x_{30} = 31.4159260648825
x31=37.6991113348642x_{31} = 37.6991113348642
x32=−43.9822976246252x_{32} = -43.9822976246252
x33=69.115038794053x_{33} = 69.115038794053
x34=−81.6814075578313x_{34} = -81.6814075578313
x35=−62.8318534787248x_{35} = -62.8318534787248
x36=100.530964759815x_{36} = 100.530964759815
x37=18.8495564031971x_{37} = 18.8495564031971
x38=12.5663710110881x_{38} = 12.5663710110881
x39=−31.4159260507536x_{39} = -31.4159260507536
x40=94.2477792651059x_{40} = 94.2477792651059
x41=6.28318579821791x_{41} = 6.28318579821791
x42=43.9822966661001x_{42} = 43.9822966661001
x43=56.5486680806249x_{43} = 56.5486680806249
x44=81.6814085860518x_{44} = 81.6814085860518
x45=−43.9822967932182x_{45} = -43.9822967932182
x46=18.8495556275525x_{46} = 18.8495556275525
x47=87.9645946044253x_{47} = 87.9645946044253
x48=−6.2831858160515x_{48} = -6.2831858160515
x49=−12.5663710889626x_{49} = -12.5663710889626
x50=−81.6814084945807x_{50} = -81.6814084945807
x51=−18.8495552124105x_{51} = -18.8495552124105
x52=12.5663704426592x_{52} = 12.5663704426592
x53=6.28318528420851x_{53} = 6.28318528420851
x54=−18.8495555173448x_{54} = -18.8495555173448
x55=−81.6814092565354x_{55} = -81.6814092565354
x56=50.2654821322586x_{56} = 50.2654821322586
x57=−75.3982238741744x_{57} = -75.3982238741744
x58=50.2654829439723x_{58} = 50.2654829439723
x59=43.9822971694647x_{59} = 43.9822971694647
x60=−94.2477797298079x_{60} = -94.2477797298079
x61=−100.530964626003x_{61} = -100.530964626003
x62=−87.964593928489x_{62} = -87.964593928489
x63=−31.4159267157965x_{63} = -31.4159267157965
x64=−25.1327407505866x_{64} = -25.1327407505866
x65=31.4159268459961x_{65} = 31.4159268459961
x66=−87.9645947692094x_{66} = -87.9645947692094
x67=69.1150379887504x_{67} = 69.1150379887504
x68=56.5486668532011x_{68} = 56.5486668532011
x69=94.2477796093523x_{69} = 94.2477796093523
x70=−50.2654829667315x_{70} = -50.2654829667315
x71=−12.5663703112531x_{71} = -12.5663703112531
x72=50.2654824463392x_{72} = 50.2654824463392
x73=−6.2831851275477x_{73} = -6.2831851275477
x74=−18.8495563230046x_{74} = -18.8495563230046
x75=62.8318535568358x_{75} = 62.8318535568358
x76=−94.2477801171671x_{76} = -94.2477801171671
x77=−94.2477794452815x_{77} = -94.2477794452815
x78=75.3982232188727x_{78} = 75.3982232188727
x79=81.6814084860076x_{79} = 81.6814084860076
x80=−37.6991118772631x_{80} = -37.6991118772631
x81=62.8318527849002x_{81} = 62.8318527849002
x82=−62.831852673202x_{82} = -62.831852673202
x83=−75.3982231045728x_{83} = -75.3982231045728
x84=−50.265482641087x_{84} = -50.265482641087
x85=−50.2654822863493x_{85} = -50.2654822863493
x86=−56.5486682426592x_{86} = -56.5486682426592
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - cos(x).
1−cos⁡(0)1 - \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(pi, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x))=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x))=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−cos⁡(x)=1−cos⁡(x)1 - \cos{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}
- Sí
1−cos⁡(x)=cos⁡(x)−11 - \cos{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} - 1
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 1-cos(x)
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