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Trazado el gráfico de la función/ x*(sin(log(x))-cos(log(x)))

Gráfico de la función y = x*(sin(log(x))-cos(log(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*(sin(log(x)) - cos(log(x)))
f(x)=x(sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x)))f{\left(x \right)} = x \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) 
f = x*(sin(log(x)) - cos(log(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x)))=0x \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=e−3π4x_{1} = e^{- \frac{3 \pi}{4}}
x2=eπ4x_{2} = e^{\frac{\pi}{4}}
Solución numérica
x1=2.19328005073802x_{1} = 2.19328005073802
x2=50.7540195117349x_{2} = 50.7540195117349
x3=0x_{3} = 0
x4=0.0947802248421549x_{4} = 0.0947802248421549
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(sin(log(x)) - cos(log(x))).
0(sin⁡(log⁡(0))−cos⁡(log⁡(0)))0 \left(\sin{\left(\log{\left(0 \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(sin⁡(log⁡(x))x+cos⁡(log⁡(x))x)+sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x))=0x \left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=eπx_{2} = e^{\pi}
Signos de extremos en los puntos:
(1, -1)

  pi   pi 
(e , e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=eπx_{1} = e^{\pi}
Decrece en los intervalos
[1,eπ]\left[1, e^{\pi}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,1]∪[eπ,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e^{\pi}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2cos⁡(log⁡(x))x=0\frac{2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eπ2x_{1} = e^{\frac{\pi}{2}}
x2=e3π2x_{2} = e^{\frac{3 \pi}{2}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,eπ2]\left(-\infty, e^{\frac{\pi}{2}}\right]
Convexa en los intervalos
[eπ2,∞)\left[e^{\frac{\pi}{2}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x))))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(x(sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x))))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(sin(log(x)) - cos(log(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x)))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩xy = \left\langle -2, 2\right\rangle x
lim⁡x→∞(sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x)))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−2,2⟩xy = \left\langle -2, 2\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x)))=−x(sin⁡(log⁡(−x))−cos⁡(log⁡(−x)))x \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) = - x \left(\sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}\right)
- No
x(sin⁡(log⁡(x))−cos⁡(log⁡(x)))=x(sin⁡(log⁡(−x))−cos⁡(log⁡(−x)))x \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) = x \left(\sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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