Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}\right) \sin{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)}}{\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___________________________________________________________________\
_________________ | / _________________ |
2 / 4 2 | / 2 / 4 2 |
1 pi \/ 5 + pi - 2*pi | / 1 pi \/ 5 + pi - 2*pi 1 |
(- - + --- + --------------------, cos| / - + --- + -------------------- - -------------------------------- |)
2 2 2 | / 2 2 2 _________________ |
| / 2 / 4 2 |
| / 1 pi \/ 5 + pi - 2*pi |
| / - - + --- + -------------------- |
\\/ 2 2 2 /
/ ___________________________________________________________________\
_________________ | / _________________ |
2 / 4 2 | / 2 / 4 2 |
1 pi \/ 5 + pi - 2*pi | / 1 pi 1 \/ 5 + pi - 2*pi |
(- - + --- - --------------------, cos| / - + --- - -------------------------------- - -------------------- |)
2 2 2 | / 2 2 _________________ 2 |
| / 2 / 4 2 |
| / 1 pi \/ 5 + pi - 2*pi |
| / - - + --- - -------------------- |
\\/ 2 2 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}\right]$$