Sr Examen

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Gráfico de la función y = cos(sqrt(x-1/x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /    ___________\
          |   /     1     |
f(x) = cos|  /  x - - + 1 |
          \\/       x     /
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)}$$
f = cos(sqrt(x - 1/x + 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\sqrt{- \frac{\pi^{2}}{2} + 5 + \frac{\pi^{4}}{16}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{9 \pi^{2}}{2} + 5 + \frac{81 \pi^{4}}{16}}}{2} + \frac{9 \pi^{2}}{8}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{- \frac{9 \pi^{2}}{2} + 5 + \frac{81 \pi^{4}}{16}}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{9 \pi^{2}}{8}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{- \frac{\pi^{2}}{2} + 5 + \frac{\pi^{4}}{16}}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 297.558893812203$$
$$x_{2} = 60.7015015638621$$
$$x_{3} = -0.506588326404339$$
$$x_{4} = 712.080322314662$$
$$x_{5} = 1541.12633654628$$
$$x_{6} = 119.910993432278$$
$$x_{7} = 1.97398942667668$$
$$x_{8} = 21.2536606208116$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(sqrt(x - 1/x + 1)).
$$\cos{\left(\sqrt{1 - \frac{1}{0}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}\right) \sin{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)}}{\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                      /          ___________________________________________________________________\ 
                _________________     |         /              _________________                                    | 
         2     /       4       2      |        /        2     /       4       2                                     | 
   1   pi    \/  5 + pi  - 2*pi       |       /   1   pi    \/  5 + pi  - 2*pi                    1                 | 
(- - + --- + --------------------, cos|      /    - + --- + -------------------- - -------------------------------- |)
   2    2             2               |     /     2    2             2                            _________________ | 
                                      |    /                                               2     /       4       2  | 
                                      |   /                                          1   pi    \/  5 + pi  - 2*pi   | 
                                      |  /                                         - - + --- + -------------------- | 
                                      \\/                                            2    2             2           / 

                                      /          ___________________________________________________________________\ 
                _________________     |         /                                                 _________________ | 
         2     /       4       2      |        /        2                                        /       4       2  | 
   1   pi    \/  5 + pi  - 2*pi       |       /   1   pi                   1                   \/  5 + pi  - 2*pi   | 
(- - + --- - --------------------, cos|      /    - + --- - -------------------------------- - -------------------- |)
   2    2             2               |     /     2    2                   _________________            2           | 
                                      |    /                        2     /       4       2                         | 
                                      |   /                   1   pi    \/  5 + pi  - 2*pi                          | 
                                      |  /                  - - + --- - --------------------                        | 
                                      \\/                     2    2             2                                  / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \pi^{2} + 5 + \pi^{4}}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(sqrt(x - 1/x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)} = \cos{\left(\sqrt{- x + 1 + \frac{1}{x}} \right)}$$
- No
$$\cos{\left(\sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right) + 1} \right)} = - \cos{\left(\sqrt{- x + 1 + \frac{1}{x}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar