Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/(x(x-1))

Gráfico de la función y = x/(x(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           x    
f(x) = ---------
       x*(x - 1)
f(x)=xx(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{x}{x \left(x - 1\right)} 
f = x/((x*(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx(x−1)=0\frac{x}{x \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/((x*(x - 1))).
0(−1)0\frac{0}{\left(-1\right) 0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x−1)+1−2xx(x−1)2=0\frac{1}{x \left(x - 1\right)} + \frac{1 - 2 x}{x \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2x−1)(1x−1+1x)−2+2x−1x−1−2x−1xx(x−1)2=0\frac{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x - 1} - \frac{2 x - 1}{x}}{x \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xx(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/((x*(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx(x−1)=1−x−1\frac{x}{x \left(x - 1\right)} = \frac{1}{- x - 1}
- No
xx(x−1)=−1−x−1\frac{x}{x \left(x - 1\right)} = - \frac{1}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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