Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x*arctgx-(pi/4+1/2)*x

Gráfico de la función y = x*arctgx-(pi/4+1/2)*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   /pi   1\  
f(x) = x*acot(x) - |-- + -|*x
                   \4    2/
f(x)=xacot⁡(x)−x(12+π4)f{\left(x \right)} = x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right) 
f = x*acot(x) - x*(1/2 + pi/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xacot⁡(x)−x(12+π4)=0x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=cot⁡(12+π4)x_{2} = \cot{\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}
Solución numérica
x1=0.293407993026023x_{1} = 0.293407993026023
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*acot(x) - (pi/4 + 1/2)*x.
0acot⁡(0)−0(12+π4)0 \operatorname{acot}{\left(0 \right)} - 0 \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xx2+1+acot⁡(x)−π4−12=0- \frac{x}{x^{2} + 1} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.144680812245848x_{1} = 0.144680812245848
Signos de extremos en los puntos:
(0.1446808122458484, 0.134135394501538 - 0.0361702030614621*pi)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.144680812245848x_{1} = 0.144680812245848
Decrece en los intervalos
(−∞,0.144680812245848]\left(-\infty, 0.144680812245848\right]
Crece en los intervalos
[0.144680812245848,∞)\left[0.144680812245848, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x2x2+1−1)x2+1=0\frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xacot⁡(x)−x(12+π4))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xacot⁡(x)−x(12+π4))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*acot(x) - (pi/4 + 1/2)*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xacot⁡(x)−x(12+π4)x)=−π4−12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)}{x}\right) = - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x(−π4−12)y = x \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right)
lim⁡x→∞(xacot⁡(x)−x(12+π4)x)=−π4−12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)}{x}\right) = - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x(−π4−12)y = x \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xacot⁡(x)−x(12+π4)=xacot⁡(x)+x(12+π4)x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)
- No
xacot⁡(x)−x(12+π4)=−xacot⁡(x)−x(12+π4)x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = - x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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