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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(10*0,1*(2+2sin(x)+cos(x)))

Gráfico de la función y = sqrt(10*0,1*(2+2sin(x)+cos(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ____________________________
          / 10                         
f(x) =   /  --*(2 + 2*sin(x) + cos(x)) 
       \/   10
f(x)=1010((2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{10}{10} \left(\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}\right)} 
f = sqrt((10/10)*(2*sin(x) + 2 + cos(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1010((2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x))=0\sqrt{\frac{10}{10} \left(\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=−2atan⁡(3)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}
Solución numérica
x1=−1.5707963267949x_{1} = -1.5707963267949
x2=−2.49809154479651x_{2} = -2.49809154479651
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((10/10)*(2 + 2*sin(x) + cos(x))).
1010(cos⁡(0)+(2sin⁡(0)+2))\sqrt{\frac{10}{10} \left(\cos{\left(0 \right)} + \left(2 \sin{\left(0 \right)} + 2\right)\right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}
Punto:
(0, sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)2+cos⁡(x)(2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x)=0\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(2)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
             ___________ 
            /       ___  
(atan(2), \/  2 + \/ 5  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(2)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(2)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(2),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)−2cos⁡(x))24(2sin⁡(x)+cos⁡(x)+2)+sin⁡(x)+cos⁡(x)22sin⁡(x)+cos⁡(x)+2=0- \frac{\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{4 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 2\right)} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}}{\sqrt{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1010((2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x))=⟨0,5⟩\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{10}{10} \left(\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}\right)} = \left\langle 0, \sqrt{5}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,5⟩y = \left\langle 0, \sqrt{5}\right\rangle
lim⁡x→∞1010((2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x))=⟨0,5⟩\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{10}{10} \left(\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}\right)} = \left\langle 0, \sqrt{5}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,5⟩y = \left\langle 0, \sqrt{5}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((10/10)*(2 + 2*sin(x) + cos(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1010((2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x))=−2sin⁡(x)+cos⁡(x)+2\sqrt{\frac{10}{10} \left(\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}\right)} = \sqrt{- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 2}
- No
1010((2sin⁡(x)+2)+cos⁡(x))=−−2sin⁡(x)+cos⁡(x)+2\sqrt{\frac{10}{10} \left(\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) + \cos{\left(x \right)}\right)} = - \sqrt{- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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