Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ -1/4*cos(2*x)-x^2/4

Gráfico de la función y = -1/4*cos(2*x)-x^2/4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     2
         cos(2*x)   x 
f(x) = - -------- - --
            4       4
f(x)=−x24−cos⁡(2x)4f{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} 
f = -x^2/4 - cos(2*x)/4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5025
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x24−cos⁡(2x)4=0- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -cos(2*x)/4 - x^2/4.
−cos⁡(0⋅2)4−024- \frac{\cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}{4} - \frac{0^{2}}{4}
Resultado:
f(0)=−14f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{4}
Punto:
(0, -1/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2+sin⁡(2x)2=0- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.94774713351699x_{1} = -0.94774713351699
x2=0x_{2} = 0
x3=0.94774713351699x_{3} = 0.94774713351699
Signos de extremos en los puntos:
(-0.9477471335169905, -0.144800526236763)

(0, -1/4)

(0.9477471335169905, -0.144800526236763)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−0.94774713351699x_{1} = -0.94774713351699
x1=0.94774713351699x_{1} = 0.94774713351699
Decrece en los intervalos
(−∞,−0.94774713351699]∪[0,∞)\left(-\infty, -0.94774713351699\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[0.94774713351699,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[0.94774713351699, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(2x)−12=0\cos{\left(2 x \right)} - \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π6,5π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x24−cos⁡(2x)4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x24−cos⁡(2x)4)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -cos(2*x)/4 - x^2/4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x24−cos⁡(2x)4x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x24−cos⁡(2x)4x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x24−cos⁡(2x)4=−x24−cos⁡(2x)4- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}
- Sí
−x24−cos⁡(2x)4=x24+cos⁡(2x)4- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}
- No
es decir, función
es
par
    © Sr Examen – Калькулятор