Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
-x^4+5x^2-4
-
x^3/
-
Expresiones idénticas
- - dos *cos(t)/ cinco +sin(t)/ cinco
- menos 2 multiplicar por coseno de (t) dividir por 5 más seno de (t) dividir por 5
- menos dos multiplicar por coseno de (t) dividir por cinco más seno de (t) dividir por cinco
- -2cos(t)/5+sin(t)/5
- -2cost/5+sint/5
- -2*cos(t) dividir por 5+sin(t) dividir por 5
-
Expresiones semejantes
- -2*cos(t)/5-sin(t)/5
- 2*cos(t)/5+sin(t)/5
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
- cos(1/2*x)
- cos(k*20)
- Seno sin
- sin(x)+x^2-1
- sin(x/2+pi/2)+4
- sin^2√x-3+cos^2√x-3
- sin(x^2-x)
- sin*3,14x/4
Gráfico de la función y = -2*cos(t)/5+sin(t)/5
Solución
Ha introducido
[src]
-2*cos(t) sin(t)
f(t) = --------- + ------
5 5
$$f{\left(t \right)} = \frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}$$
f = sin(t)/5 + (-2*cos(t))/5
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 10.5319266785635$$
$$t_{2} = 98.4965209790777$$
$$t_{3} = 126.770854861386$$
$$t_{4} = -74.2910749683609$$
$$t_{5} = -96.2822235434895$$
$$t_{6} = 7.39033402497368$$
$$t_{7} = -52.2999263932324$$
$$t_{8} = 76.5053724039491$$
$$t_{9} = 92.2133356718981$$
$$t_{10} = -77.4326676219507$$
$$t_{11} = -86.8574455827201$$
$$t_{12} = -49.1583337396426$$
$$t_{13} = 70.2221870967695$$
$$t_{14} = -8.31762924297529$$
$$t_{15} = 51.3726311752308$$
$$t_{16} = -61.7247043540018$$
$$t_{17} = -71.1494823147711$$
$$t_{18} = -68.0078896611814$$
$$t_{19} = -36.5919631252834$$
$$t_{20} = 32.523075253692$$
$$t_{21} = -93.1406308898997$$
$$t_{22} = 4.24874137138388$$
$$t_{23} = 23.0982972929226$$
$$t_{24} = -2.0344439357957$$
$$t_{25} = 1.10714871779409$$
$$t_{26} = -30.3087778181038$$
$$t_{27} = 35.6646679072818$$
$$t_{28} = 57.6558164824104$$
$$t_{29} = 95.3549283254879$$
$$t_{30} = 45.0894458680512$$
$$t_{31} = -58.583111700412$$
$$t_{32} = -99.4238161970793$$
$$t_{33} = -33.4503704716936$$
$$t_{34} = -64.8662970075916$$
$$t_{35} = -46.0167410860528$$
$$t_{36} = -39.7335557788732$$
$$t_{37} = -42.875148432463$$
$$t_{38} = 54.5142238288206$$
$$t_{39} = -14.6008145501549$$
$$t_{40} = 82.7885577111287$$
$$t_{41} = 19.9567046393328$$
$$t_{42} = 38.8062605608716$$
$$t_{43} = -55.4415190468222$$
$$t_{44} = 16.8151119857431$$
$$t_{45} = 29.3814826001022$$
$$t_{46} = -11.4592218965651$$
$$t_{47} = 89.0717430183083$$
$$t_{48} = 85.9301503647185$$
$$t_{49} = -27.167185164514$$
$$t_{50} = 26.2398899465124$$
$$t_{51} = 60.7974091360002$$
$$t_{52} = 41.9478532144614$$
$$t_{53} = -20.8839998573345$$
$$t_{54} = 48.231038521641$$
$$t_{55} = 63.93900178959$$
$$t_{56} = 79.6469650575389$$
$$t_{57} = -80.5742602755405$$
$$t_{58} = 67.0805944431797$$
$$t_{59} = -24.0255925109243$$
$$t_{60} = 117.346076900616$$
$$t_{61} = 107.921298939847$$
$$t_{62} = -89.9990382363099$$
$$t_{63} = 13.6735193321533$$
$$t_{64} = -5.1760365893855$$
$$t_{65} = -17.7424072037447$$
$$t_{66} = 73.3637797503593$$
$$t_{67} = -83.7158529291303$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 10.5319266785635$$
$$t_{2} = 98.4965209790777$$
$$t_{3} = 126.770854861386$$
$$t_{4} = -74.2910749683609$$
$$t_{5} = -96.2822235434895$$
$$t_{6} = 7.39033402497368$$
$$t_{7} = -52.2999263932324$$
$$t_{8} = 76.5053724039491$$
$$t_{9} = 92.2133356718981$$
$$t_{10} = -77.4326676219507$$
$$t_{11} = -86.8574455827201$$
$$t_{12} = -49.1583337396426$$
$$t_{13} = 70.2221870967695$$
$$t_{14} = -8.31762924297529$$
$$t_{15} = 51.3726311752308$$
$$t_{16} = -61.7247043540018$$
$$t_{17} = -71.1494823147711$$
$$t_{18} = -68.0078896611814$$
$$t_{19} = -36.5919631252834$$
$$t_{20} = 32.523075253692$$
$$t_{21} = -93.1406308898997$$
$$t_{22} = 4.24874137138388$$
$$t_{23} = 23.0982972929226$$
$$t_{24} = -2.0344439357957$$
$$t_{25} = 1.10714871779409$$
$$t_{26} = -30.3087778181038$$
$$t_{27} = 35.6646679072818$$
$$t_{28} = 57.6558164824104$$
$$t_{29} = 95.3549283254879$$
$$t_{30} = 45.0894458680512$$
$$t_{31} = -58.583111700412$$
$$t_{32} = -99.4238161970793$$
$$t_{33} = -33.4503704716936$$
$$t_{34} = -64.8662970075916$$
$$t_{35} = -46.0167410860528$$
$$t_{36} = -39.7335557788732$$
$$t_{37} = -42.875148432463$$
$$t_{38} = 54.5142238288206$$
$$t_{39} = -14.6008145501549$$
$$t_{40} = 82.7885577111287$$
$$t_{41} = 19.9567046393328$$
$$t_{42} = 38.8062605608716$$
$$t_{43} = -55.4415190468222$$
$$t_{44} = 16.8151119857431$$
$$t_{45} = 29.3814826001022$$
$$t_{46} = -11.4592218965651$$
$$t_{47} = 89.0717430183083$$
$$t_{48} = 85.9301503647185$$
$$t_{49} = -27.167185164514$$
$$t_{50} = 26.2398899465124$$
$$t_{51} = 60.7974091360002$$
$$t_{52} = 41.9478532144614$$
$$t_{53} = -20.8839998573345$$
$$t_{54} = 48.231038521641$$
$$t_{55} = 63.93900178959$$
$$t_{56} = 79.6469650575389$$
$$t_{57} = -80.5742602755405$$
$$t_{58} = 67.0805944431797$$
$$t_{59} = -24.0255925109243$$
$$t_{60} = 117.346076900616$$
$$t_{61} = 107.921298939847$$
$$t_{62} = -89.9990382363099$$
$$t_{63} = 13.6735193321533$$
$$t_{64} = -5.1760365893855$$
$$t_{65} = -17.7424072037447$$
$$t_{66} = 73.3637797503593$$
$$t_{67} = -83.7158529291303$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\cos{\left(t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\cos{\left(t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
-\/ 5
(-atan(1/2), -------)
5 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \sin{\left(t \right)} + 2 \cos{\left(t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \sin{\left(t \right)} + 2 \cos{\left(t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-2*cos(t))/5 + sin(t)/5, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5} = - \frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5} = \frac{\sin{\left(t \right)}}{5} - \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5} = - \frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5} = \frac{\sin{\left(t \right)}}{5} - \frac{\left(-1\right) 2 \cos{\left(t \right)}}{5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar