Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 x^{2} \cos{\left(x x \right)} + \sin{\left(x x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.35521112862614$$
$$x_{2} = -3.76462907532733$$
$$x_{3} = 20.2479396696885$$
$$x_{4} = 6.26758611849278$$
$$x_{5} = -13.3230177428884$$
$$x_{6} = 18.1189943237946$$
$$x_{7} = 55.698500038955$$
$$x_{8} = -23.4138597867238$$
$$x_{9} = -93.7978159831513$$
$$x_{10} = -8.95080183389482$$
$$x_{11} = 12.7198707532056$$
$$x_{12} = -44.0803279657641$$
$$x_{13} = -83.5970868479093$$
$$x_{14} = 70.1520134668099$$
$$x_{15} = 58.2083140493455$$
$$x_{16} = 84.2708150182891$$
$$x_{17} = -38.3235554977812$$
$$x_{18} = -47.8726650497299$$
$$x_{19} = -70.1072165206277$$
$$x_{20} = 60.2503979153653$$
$$x_{21} = 18.2915584905206$$
$$x_{22} = 33.0409428606701$$
$$x_{23} = 0$$
$$x_{24} = 26.438704217983$$
$$x_{25} = -18.0320929835385$$
$$x_{26} = 58.5580782403786$$
$$x_{27} = -97.7504685831282$$
$$x_{28} = -5.74472561217197$$
$$x_{29} = 91.8517671603543$$
$$x_{30} = -68.7040251218618$$
$$x_{31} = -85.7673554818607$$
$$x_{32} = -4.16024524967154$$
$$x_{33} = -42.3724023394102$$
$$x_{34} = 77.3509100937384$$
$$x_{35} = 6.01183407098084$$
$$x_{36} = -14.3449206558669$$
$$x_{37} = 5.16935647582827$$
$$x_{38} = -65.8556662221908$$
$$x_{39} = -9.78896285608669$$
$$x_{40} = -6.97889329812938$$
$$x_{41} = -29.8962149672115$$
$$x_{42} = 2.19450274956445$$
$$x_{43} = -33.7930372624299$$
$$x_{44} = 32.1249695905524$$
$$x_{45} = -17.8570216542223$$
$$x_{46} = -42.0000542670678$$
$$x_{47} = 37.0735370544564$$
$$x_{48} = -91.8517671603543$$
$$x_{49} = -11.1398805605465$$
$$x_{50} = 4.16024524967154$$
$$x_{51} = -26.7928090700661$$
$$x_{52} = 10.2590498848041$$
$$x_{53} = 8.40790743485922$$
$$x_{54} = -7.82746557122563$$
$$x_{55} = 35.4269200396297$$
$$x_{56} = -53.6002486537402$$
$$x_{57} = -16.0013047615368$$
$$x_{58} = 18.7997496853775$$
$$x_{59} = -90.0556577728139$$
$$x_{60} = -2.19450274956445$$
$$x_{61} = 34.2088247492311$$
$$x_{62} = 1.35521112862614$$
$$x_{63} = 54.1251819410153$$
$$x_{64} = -21.7442119165177$$
$$x_{65} = -75.8953899598703$$
$$x_{66} = 56.1199322342945$$
$$x_{67} = -69.7703226268241$$
$$x_{68} = -35.6038344867429$$
$$x_{69} = 41.2071732071487$$
$$x_{70} = 46.0326458158356$$
$$x_{71} = 96.048356995137$$
$$x_{72} = 94.2155512590465$$
$$x_{73} = 26.6163455262094$$
$$x_{74} = 80.182725342438$$
$$x_{75} = 22.3146463051457$$
$$x_{76} = -43.3979845304653$$
$$x_{77} = 40.1647623864471$$
$$x_{78} = -81.0594911844327$$
$$x_{79} = 82.5952088232899$$
$$x_{80} = 27.996928491633$$
$$x_{81} = 90.2299142368658$$
$$x_{82} = 62.2255018033701$$
$$x_{83} = -52.1143649402824$$
$$x_{84} = 14.1242217429234$$
$$x_{85} = 36.0423216116322$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1.3552111286261361, -1.30761941299144)
(-3.7646290753273344, -3.76228841574689)
(20.247939669688456, 20.2479246116981)
(6.26758611849278, 6.26707847792961)
(-13.323017742888373, -13.3229648862414)
(18.11899432379457, 18.1189733098786)
(55.69850003895503, -55.6984993155534)
(-23.413859786723755, -23.4138500482544)
(-93.79781598315132, -93.7978158316795)
(-8.950801833894822, 8.95062752823053)
(12.719870753205562, -12.7198100154406)
(-44.08032796576413, -44.0803265063601)
(-83.59708684790927, -83.5970866339473)
(70.1520134668099, 70.1520131047424)
(58.20831404934549, 58.2083134155415)
(84.27081501828906, 84.2708148094179)
(-38.32355549778122, 38.3235532769651)
(-47.87266504972991, 47.8726639104061)
(-70.10721652062774, -70.1072161578657)
(60.25039791536535, -60.2503973438469)
(18.291558490520618, 18.2915380657515)
(33.04094286067008, -33.0409393952758)
(0, 0)
(26.438704217982963, 26.4386974542049)
(-18.032092983538494, 18.0320716643422)
(58.5580782403786, -58.558077617864)
(-97.75046858312821, 97.7504684492982)
(-5.744725612171971, -5.74406639671223)
(91.85176716035429, -91.8517669990494)
(-68.70402512186176, -68.7040247364158)
(-85.7673554818607, 85.7673552837336)
(-4.160245249671543, 4.15851032158028)
(-42.372402339410215, 42.3724006963226)
(77.35091009373836, 77.3509098236451)
(6.011834070980841, -6.01125886058877)
(-14.344920655866918, 14.3448783097455)
(5.169356475828274, 5.16845181340769)
(-65.8556662221908, -65.8556657845372)
(-9.78896285608669, -9.78882959875799)
(-6.97889329812938, 6.97852557917854)
(-29.89621496721153, -29.8962102892)
(2.194502749564451, -2.18276978467772)
(-33.79303726242993, 33.7930340233007)
(32.124969590552375, 32.1249658202016)
(-17.857021654222304, 17.8569997018158)
(-42.00005426706781, 42.0000525798916)
(37.07353705445637, -37.0735346013414)
(-91.85176716035429, 91.8517669990494)
(-11.139880560546503, 11.139790140834)
(4.160245249671543, -4.15851032158028)
(-26.79280907006613, -26.7928025709379)
(10.259049884804105, -10.2589341187482)
(8.407907434859222, 8.40769713937167)
(-7.8274655712256305, 7.82720494097395)
(35.42692003962967, -35.426917228313)
(-53.600248653740245, -53.600247842014)
(-16.001304761536776, 16.0012742515106)
(18.799749685377474, 18.7997308725895)
(-90.05565777281386, 90.0556576016638)
(-2.194502749564451, 2.18276978467772)
(34.20882474923113, 34.2088216267811)
(1.3552111286261361, 1.30761941299144)
(54.125181941015335, 54.1251811526784)
(-21.744211916517738, -21.744199758056)
(-75.89538995987029, 75.8953896739376)
(56.119932234294495, 56.1199315270679)
(-69.77032262682411, 69.7703222587817)
(-35.60383448674287, 35.6038317171263)
(41.20717320714869, 41.207171420696)
(46.03264581583564, 46.0326445343546)
(96.04835699513701, 96.0483568540652)
(94.21555125904652, -94.2155511095806)
(26.616345526209365, -26.6163388969567)
(80.18272534243798, 80.1827250999626)
(22.314646305145708, 22.3146350554788)
(-43.39798453046534, 43.397983001135)
(40.1647623864471, -40.1647604572599)
(-81.05949118443273, 81.0594909497407)
(82.5952088232899, -82.595208601447)
(27.996928491632993, -27.9969227955184)
(90.22991423686584, -90.2299140667055)
(62.22550180337009, 62.2255012845643)
(-52.11436494028237, -52.1143640571259)
(14.124221742923448, -14.1241773805896)
(36.042321611632175, -36.0423189418754)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1.35521112862614$$
$$x_{2} = -3.76462907532733$$
$$x_{3} = -13.3230177428884$$
$$x_{4} = 55.698500038955$$
$$x_{5} = -23.4138597867238$$
$$x_{6} = -93.7978159831513$$
$$x_{7} = 12.7198707532056$$
$$x_{8} = -44.0803279657641$$
$$x_{9} = -83.5970868479093$$
$$x_{10} = -70.1072165206277$$
$$x_{11} = 60.2503979153653$$
$$x_{12} = 33.0409428606701$$
$$x_{13} = 58.5580782403786$$
$$x_{14} = -5.74472561217197$$
$$x_{15} = 91.8517671603543$$
$$x_{16} = -68.7040251218618$$
$$x_{17} = 6.01183407098084$$
$$x_{18} = -65.8556662221908$$
$$x_{19} = -9.78896285608669$$
$$x_{20} = -29.8962149672115$$
$$x_{21} = 2.19450274956445$$
$$x_{22} = 37.0735370544564$$
$$x_{23} = 4.16024524967154$$
$$x_{24} = -26.7928090700661$$
$$x_{25} = 10.2590498848041$$
$$x_{26} = 35.4269200396297$$
$$x_{27} = -53.6002486537402$$
$$x_{28} = -21.7442119165177$$
$$x_{29} = 94.2155512590465$$
$$x_{30} = 26.6163455262094$$
$$x_{31} = 40.1647623864471$$
$$x_{32} = 82.5952088232899$$
$$x_{33} = 27.996928491633$$
$$x_{34} = 90.2299142368658$$
$$x_{35} = -52.1143649402824$$
$$x_{36} = 14.1242217429234$$
$$x_{37} = 36.0423216116322$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{37} = 20.2479396696885$$
$$x_{37} = 6.26758611849278$$
$$x_{37} = 18.1189943237946$$
$$x_{37} = -8.95080183389482$$
$$x_{37} = 70.1520134668099$$
$$x_{37} = 58.2083140493455$$
$$x_{37} = 84.2708150182891$$
$$x_{37} = -38.3235554977812$$
$$x_{37} = -47.8726650497299$$
$$x_{37} = 18.2915584905206$$
$$x_{37} = 26.438704217983$$
$$x_{37} = -18.0320929835385$$
$$x_{37} = -97.7504685831282$$
$$x_{37} = -85.7673554818607$$
$$x_{37} = -4.16024524967154$$
$$x_{37} = -42.3724023394102$$
$$x_{37} = 77.3509100937384$$
$$x_{37} = -14.3449206558669$$
$$x_{37} = 5.16935647582827$$
$$x_{37} = -6.97889329812938$$
$$x_{37} = -33.7930372624299$$
$$x_{37} = 32.1249695905524$$
$$x_{37} = -17.8570216542223$$
$$x_{37} = -42.0000542670678$$
$$x_{37} = -91.8517671603543$$
$$x_{37} = -11.1398805605465$$
$$x_{37} = 8.40790743485922$$
$$x_{37} = -7.82746557122563$$
$$x_{37} = -16.0013047615368$$
$$x_{37} = 18.7997496853775$$
$$x_{37} = -90.0556577728139$$
$$x_{37} = -2.19450274956445$$
$$x_{37} = 34.2088247492311$$
$$x_{37} = 1.35521112862614$$
$$x_{37} = 54.1251819410153$$
$$x_{37} = -75.8953899598703$$
$$x_{37} = 56.1199322342945$$
$$x_{37} = -69.7703226268241$$
$$x_{37} = -35.6038344867429$$
$$x_{37} = 41.2071732071487$$
$$x_{37} = 46.0326458158356$$
$$x_{37} = 96.048356995137$$
$$x_{37} = 80.182725342438$$
$$x_{37} = 22.3146463051457$$
$$x_{37} = -43.3979845304653$$
$$x_{37} = -81.0594911844327$$
$$x_{37} = 62.2255018033701$$
Decrece en los intervalos
$$\left[94.2155512590465, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -93.7978159831513\right]$$