Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$x^{\sin{\left(x \right)}} \left(\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \left(\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) + x^{\sin{\left(x \right)}} \left(- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8.57614575588893$$
$$x_{2} = 63.926742439863$$
$$x_{3} = 52.3332686428801$$
$$x_{4} = 19.8785339066175$$
$$x_{5} = 90.0004177029755$$
$$x_{6} = 70.2145522644066$$
$$x_{7} = 26.1784451308345$$
$$x_{8} = 1.39528866600788$$
$$x_{9} = 46.058794654348$$
$$x_{10} = 96.2800949147904$$
Signos de extremos en los puntos:
(8.576145755888925, -6.68578868790704)
(63.926742439863034, 77.2768247508938)
(52.333268642880086, -60.6338160138249)
(19.878533906617466, 20.5308015775028)
(90.00041770297551, -112.068935704972)
(70.21455226440663, 85.8261144905898)
(26.178445130834472, 28.1555899611924)
(1.3952886660078816, 1.06035120773075)
(46.05879465434803, -52.3681833886433)
(96.28009491479035, -120.875946425251)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 8.57614575588893$$
$$x_{2} = 52.3332686428801$$
$$x_{3} = 90.0004177029755$$
$$x_{4} = 46.058794654348$$
$$x_{5} = 96.2800949147904$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{5} = 63.926742439863$$
$$x_{5} = 19.8785339066175$$
$$x_{5} = 70.2145522644066$$
$$x_{5} = 26.1784451308345$$
$$x_{5} = 1.39528866600788$$
Decrece en los intervalos
$$\left[96.2800949147904, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 8.57614575588893\right]$$