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Trazado el gráfico de la función/ -6*x+9*arctg(5*x)

Gráfico de la función y = -6*x+9*arctg(5*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -6*x + 9*atan(5*x)
f(x)=−6x+9atan⁡(5x)f{\left(x \right)} = - 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} 
f = -6*x + 9*atan(5*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−6x+9atan⁡(5x)=0- 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−2.22151457104289x_{1} = -2.22151457104289
x2=0x_{2} = 0
x3=2.22151457104289x_{3} = 2.22151457104289
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -6*x + 9*atan(5*x).
−0+9atan⁡(0⋅5)- 0 + 9 \operatorname{atan}{\left(0 \cdot 5 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6+4525x2+1=0-6 + \frac{45}{25 x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2610x_{1} = - \frac{\sqrt{26}}{10}
x2=2610x_{2} = \frac{\sqrt{26}}{10}
Signos de extremos en los puntos:
    ____           /  ____\       ____ 
 -\/ 26            |\/ 26 |   3*\/ 26  
(--------, - 9*atan|------| + --------)
    10             \  2   /      5     

   ____        /  ____\       ____ 
 \/ 26         |\/ 26 |   3*\/ 26  
(------, 9*atan|------| - --------)
   10          \  2   /      5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2610x_{1} = - \frac{\sqrt{26}}{10}
Puntos máximos de la función:
x1=2610x_{1} = \frac{\sqrt{26}}{10}
Decrece en los intervalos
[−2610,2610]\left[- \frac{\sqrt{26}}{10}, \frac{\sqrt{26}}{10}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2610]∪[2610,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{26}}{10}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{26}}{10}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2250x(25x2+1)2=0- \frac{2250 x}{\left(25 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−6x+9atan⁡(5x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−6x+9atan⁡(5x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -6*x + 9*atan(5*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−6x+9atan⁡(5x)x)=−6\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}}{x}\right) = -6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−6xy = - 6 x
lim⁡x→∞(−6x+9atan⁡(5x)x)=−6\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}}{x}\right) = -6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−6xy = - 6 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−6x+9atan⁡(5x)=6x−9atan⁡(5x)- 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} = 6 x - 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}
- No
−6x+9atan⁡(5x)=−6x+9atan⁡(5x)- 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} = - 6 x + 9 \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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