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Trazado el gráfico de la función/ log(x)^cot(x)*((-1-cot(x)^2)*log(log(x))+cot(x)/(x*log(x)))

Gráfico de la función y = log(x)^cot(x)*((-1-cot(x)^2)*log(log(x))+cot(x)/(x*log(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          cot(x)    //        2   \                cot(x) \
f(x) = log      (x)*|\-1 - cot (x)/*log(log(x)) + --------|
                    \                             x*log(x)/
f(x)=((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}} 
f = ((-cot(x)^2 - 1)*log(log(x)) + cot(x)/((x*log(x))))*log(x)^cot(x)
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x)=0\left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=28.2685048386285x_{1} = 28.2685048386285
x2=50.25x_{2} = 50.25
x3=2.1305579932234x_{3} = 2.1305579932234
x4=−22x_{4} = -22
x5=84.7876946683911x_{5} = 84.7876946683911
x6=−44x_{6} = -44
x7=72.25x_{7} = 72.25
x8=81.654535094678x_{8} = 81.654535094678
x9=28.257339082354x_{9} = 28.257339082354
x10=6.26839188741168x_{10} = 6.26839188741168
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x)+(−(−2cot⁡2(x)−2)log⁡(log⁡(x))cot⁡(x)+1xlog⁡(x)(−cot⁡2(x)−1)+−cot⁡2(x)−1xlog⁡(x)+(−log⁡(x)−1)cot⁡(x)x2log⁡(x)2)log⁡(x)cot⁡(x)=0\left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}} + \left(- \left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)} + \frac{1}{x \log{\left(x \right)}} \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + \frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}} + \frac{\left(- \log{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4.54058873966157x_{1} = 4.54058873966157
x2=−22x_{2} = -22
x3=−44x_{3} = -44
x4=14.8487919231348x_{4} = 14.8487919231348
x5=28.2575270457511x_{5} = 28.2575270457511
x6=103.636731995248x_{6} = 103.636731995248
x7=81.6749364762694x_{7} = 81.6749364762694
x8=50.25x_{8} = 50.25
x9=8.20745317174749x_{9} = 8.20745317174749
x10=72.25x_{10} = 72.25
x11=11.519876045512x_{11} = 11.519876045512
x12=11.983540531305x_{12} = 11.983540531305
x13=84.813277611581x_{13} = 84.813277611581
Signos de extremos en los puntos:
(4.540588739661574, -0.431244575770909)

                                                         -112.973210356432 /        112.973210356432                                                      \ 
(-22, 4.27826956639762e-56*(1 + 0.323515453148672*pi*I)                 *|- ---------------------------- - 12763.9462582386*log(3.09104245335832 + pi*I)|)
                                                                           \  -68.002933973883 - 22*pi*I                                                / 

                                                         -56.4821793501951 /         56.4821793501951                                                      \ 
(-44, 2.26376567694816e-33*(1 + 0.264257369936445*pi*I)                 *|- ----------------------------- - 3191.23658414761*log(3.78418963391826 + pi*I)|)
                                                                           \  -166.504343892403 - 44*pi*I                                                / 

(14.848791923134812, -0.744477923500979)

(28.257527045751083, -2.88621911887891e-28)

(103.63673199524767, -3.01302746531121e-16)

(81.67493647626938, -1.24519260815179e-95)

(50.25, -2.88527603160245e-35)

(8.207453171747488, -0.658806708382852)

(72.25, -1.96437311878287e-91)

(11.519876045512024, -0.72350469926402)

(11.983540531304968, -0.768353920914278)

(84.81327761158096, -4.16618947777986e-63)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=11.983540531305x_{1} = 11.983540531305
Puntos máximos de la función:
x1=4.54058873966157x_{1} = 4.54058873966157
x1=14.8487919231348x_{1} = 14.8487919231348
x1=8.20745317174749x_{1} = 8.20745317174749
x1=11.519876045512x_{1} = 11.519876045512
Decrece en los intervalos
(−∞,4.54058873966157]∪[11.983540531305,∞)\left(-\infty, 4.54058873966157\right] \cup \left[11.983540531305, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,11.983540531305]∪[14.8487919231348,∞)\left(-\infty, 11.983540531305\right] \cup \left[14.8487919231348, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)^cot(x)*((-1 - cot(x)^2)*log(log(x)) + cot(x)/((x*log(x)))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x)=((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(−x))+cot⁡(x)xlog⁡(−x))log⁡(−x)−cot⁡(x)\left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}} = \left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(- x \right)}}\right) \log{\left(- x \right)}^{- \cot{\left(x \right)}}
- No
((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(x))+cot⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)cot⁡(x)=−((−cot⁡2(x)−1)log⁡(log⁡(−x))+cot⁡(x)xlog⁡(−x))log⁡(−x)−cot⁡(x)\left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\cot{\left(x \right)}} = - \left(\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(- x \right)}}\right) \log{\left(- x \right)}^{- \cot{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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