Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
- Integral de d{x}:
- f(x)
- Derivada de:
- f(x)
- Suma de la serie:
- f(x)
-
Expresiones idénticas
- f(x)=(x+ dos)/(sqrt(x)- uno)
- f(x) es igual a (x más 2) dividir por ( raíz cuadrada de (x) menos 1)
- f(x) es igual a (x más dos) dividir por ( raíz cuadrada de (x) menos uno)
- f(x)=(x+2)/(√(x)-1)
- fx=x+2/sqrtx-1
- f(x)=(x+2) dividir por (sqrt(x)-1)
-
Expresiones semejantes
- f(x)=(x+2)/(sqrt(x)+1)
- f(x)=(x-2)/(sqrt(x)-1)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+4*x)
- sqrt(x)^2+2*x-15
- sqrt(-x^2/(1+x^2))
- sqrt(3)-log(x)
- sqrt(2)*sqrt(1/(1+x-log(x)))*(1-x)/2
Gráfico de la función y = f(x)=(x+2)/(sqrt(x)-1)
Solución
Ha introducido
[src]
x + 2
f(x) = ---------
___
\/ x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}$$
f = (x + 2)/(sqrt(x) - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x + 2}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \sqrt{3} + 4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \sqrt{3} + 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x + 2}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ 6 + 2*\/ 3
(4 + 2*\/ 3, ---------------------)
_____________
/ ___
-1 + \/ 4 + 2*\/ 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \sqrt{3} + 4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \sqrt{3} + 4\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 7 + \frac{33}{\sqrt[3]{177 + 48 \sqrt{2} i}} + \sqrt[3]{177 + 48 \sqrt{2} i}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 7 + 2 \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16 \sqrt{2}}{59} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[7 + 2 \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16 \sqrt{2}}{59} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 7 + \frac{33}{\sqrt[3]{177 + 48 \sqrt{2} i}} + \sqrt[3]{177 + 48 \sqrt{2} i}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 7 + 2 \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16 \sqrt{2}}{59} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[7 + 2 \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16 \sqrt{2}}{59} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 2)/(sqrt(x) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 - x}{\sqrt{- x} - 1}$$
- No
$$\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = - \frac{2 - x}{\sqrt{- x} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 - x}{\sqrt{- x} - 1}$$
- No
$$\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = - \frac{2 - x}{\sqrt{- x} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar