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Trazado el gráfico de la función/ f(x)=(x+2)/(sqrt(x)-1)

Gráfico de la función y = f(x)=(x+2)/(sqrt(x)-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x + 2  
f(x) = ---------
         ___    
       \/ x  - 1
f(x)=x+2x−1f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} 
f = (x + 2)/(sqrt(x) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+2x−1=0\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 2)/(sqrt(x) - 1).
2−1+0\frac{2}{-1 + \sqrt{0}}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x−1−x+22x(x−1)2=0\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x + 2}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23+4x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4
Signos de extremos en los puntos:
                           ___      
         ___       6 + 2*\/ 3       
(4 + 2*\/ 3, ---------------------)
                      _____________ 
                     /         ___  
              -1 + \/  4 + 2*\/ 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=23+4x_{1} = 2 \sqrt{3} + 4
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[23+4,∞)\left[2 \sqrt{3} + 4, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,23+4]\left(-\infty, 2 \sqrt{3} + 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+2)(2x(x−1)+1x32)4−1x(x−1)2=0\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=7+33177+482i3+177+482i3x_{1} = 7 + \frac{33}{\sqrt[3]{177 + 48 \sqrt{2} i}} + \sqrt[3]{177 + 48 \sqrt{2} i}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−((x+2)(2x(x−1)+1x32)4−1x(x−1)2)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+((x+2)(2x(x−1)+1x32)4−1x(x−1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,7+233cos⁡(atan⁡(16259)3)]\left(-\infty, 7 + 2 \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16 \sqrt{2}}{59} \right)}}{3} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[7+233cos⁡(atan⁡(16259)3),∞)\left[7 + 2 \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16 \sqrt{2}}{59} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+2x−1)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x+2x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 2)/(sqrt(x) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+2x(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+2x(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+2x−1=2−x−x−1\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 - x}{\sqrt{- x} - 1}
- No
x+2x−1=−2−x−x−1\frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} = - \frac{2 - x}{\sqrt{- x} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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